Если диагонали трапеции перпендикулярны, решить задачу поможет дополнительное построение.

диагонали трапеции перпендикулярны

 

 

 

 

 

 

Проведем через вершину меньшего основания прямую, параллельную диагонали: CFBD:

в трапеции диагонали перпендикулярны

 

 

 

 

 

 

Четырехугольник BCFD — параллелограмм, так как у него противоположные стороны лежат на параллельных прямых (CFBD по построению, BCAD как основания трапеции). Следовательно, DF=BC, CF=BD.

Так как диагонали трапеции перпендикулярны, прямые CF и AC  также перпендикулярны (если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой). Проведем высоту трапеции CN:

диагонали трапеции взаимно перпендикулярны

 

 

 

 

 

 

В прямоугольном треугольнике ACF CN — высота, проведенная к гипотенузе.  Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике связаны соотношениями:

    \[CN = \sqrt {AN \cdot NF} \]

    \[AC = \sqrt {AN \cdot AF} \]

    \[CF = \sqrt {NF \cdot AF} \]

Площадь трапеции можно найти по одной из формул

    \[S = \frac{{a + b}}{2} \cdot h\]

    \[S = mh\]

где a и b — основания, h — высота, m  — средняя линия трапеции. Площадь выпуклого четырехугольника можно найти как половину произведения диагоналей на синус угла между ними:

    \[S = \frac{1}{2}{d_1}{d_2}\sin \varphi \]

Поскольку sin90º=1, если диагонали перпендикулярны, площадь трапеции равна

    \[S = \frac{1}{2}{d_1}{d_2}\]

Отсюда

    \[\frac{{a + b}}{2} \cdot h = mh = \frac{1}{2}{d_1}{d_2}\]

и, в зависимости от условий задачи, можно искать ту или иную величину.

Можно рассуждать иначе: площадь прямоугольного треугольника ACF можно найти как

    \[S = \frac{1}{2}AC \cdot CF\]

    \[S = \frac{1}{2}AF \cdot CN\]

Отсюда

    \[AC \cdot CF = AF \cdot CN,\]

    \[{d_1}{d_2} = (a + b) \cdot h\]


В следующий раз рассмотрим частный случай: диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны.

 

1 отзыв , 20 Апр 2013

Один отзыв на «Диагонали трапеции перпендикулярны»

  1. Влад:

    Спасибо, очень полезная информация, которая выручила меня прямо сейчас!

Ваш отзыв

Besucherzahler senior people meet
счетчик для сайта