В тригонометрии многие формулы легче вывести, чем вызубрить. Косинус двойного угла — замечательная формула! Она позволяет получить формулы понижения степени и формулы половинного угла.

Итак, нам нужны косинус двойного угла и тригонометрическая единица:

    \[\cos 2\alpha  = {\cos ^2}\alpha  - {\sin ^2}\alpha \]

    \[{\cos ^2}\alpha  + {\sin ^2}\alpha  = 1\]

Они даже похожи: в формуле косинуса двойного угла — разность квадратов косинуса и синуса, а в тригонометрической единице — их сумма. Если из тригонометрической единицы выразить косинус:

    \[{\cos ^2}\alpha  = 1 - {\sin ^2}\alpha \]

и подставить его в косинус двойного угла, то получим:

    \[\cos 2\alpha  = 1 - {\sin ^2}\alpha  - {\sin ^2}\alpha  = 1 - 2{\sin ^2}\alpha \]

Это — еще одна формула косинуса двойного угла:

    \[\cos 2\alpha  = 1 - 2{\sin ^2}\alpha \]

Эта формула — ключ к получению формулы понижения степени:

    \[2{\sin ^2}\alpha  = 1 - \cos 2\alpha , \Rightarrow {\sin ^2}\alpha  = \frac{{1 - \cos 2\alpha }}{2}\]

Итак, формула понижения степени синуса:

    \[{\sin ^2}\alpha  = \frac{{1 - \cos 2\alpha }}{2}\]

Если в ней угол альфа заменить на половинный угол альфа пополам, а двойной угол два альфа — на угол альфа, то получим формулу половинного угла для синуса:

    \[{\sin ^2}\frac{\alpha }{2} = \frac{{1 - \cos \alpha }}{2}\]

Теперь из тригонометрической единицы выразим синус:

    \[{\sin ^2}\alpha  = 1 - {\cos ^2}\alpha \]

Подставим это выражение в формулу косинуса двойного угла:

    \[\cos 2\alpha  = {\cos ^2}\alpha  - (1 - {\cos ^2}\alpha ) = {\cos ^2}\alpha  - 1 + {\cos ^2}\alpha  = \]

    \[ = 2{\cos ^2}\alpha  - 1\]

Получили еще одну формулу косинуса двойного угла:  

    \[\cos 2\alpha  = 2{\cos ^2}\alpha  - 1\]

Эта формула — ключ к нахождению формулы понижения степени косинуса и половинного угла для косинуса.

    \[2{\cos ^2}\alpha  = 1 + \cos 2\alpha , \Rightarrow {\cos ^2}\alpha  = \frac{{1 + \cos 2\alpha }}{2}\]

Таким образом, формула понижения степени косинуса:

    \[{\cos ^2}\alpha  = \frac{{1 + \cos 2\alpha }}{2}\]

Если в ней заменить α на α/2, а 2α — на α, то получим формулу половинного аргумента для косинуса:

    \[{\cos ^2}\frac{\alpha }{2} = \frac{{1 + \cos \alpha }}{2}\]

Так как тангенс — отношение синуса к косинусу то формула  для тангенса:

    \[t{g^2}\frac{\alpha }{2} = \frac{{1 - \cos \alpha }}{{1 + \cos \alpha }}\]

Котангенс — отношение косинуса к синусу. Поэтому формула для котангенса:

    \[ct{g^2}\frac{\alpha }{2} = \frac{{1 + \cos \alpha }}{{1 - \cos \alpha }}\]

Конечно, в процессе упрощения тригонометрических выражений формулы половинного угла или понижения степени нет смысла каждый раз выводить. Гораздо проще перед собой положить листик с формулами. И упрощение продвинется быстрее, и зрительная память включится на запоминание. Но несколько раз вывести эти формулы все же стоит. Тогда вы будете абсолютно уверены в том, что на экзамене, когда нет возможности воспользоваться шпаргалкой, вы без труда их получите, если возникнет необходимость.

Отзывов (4) , 26 Окт 2012

Отзывов (4) на «Косинус двойного угла»

  1. Светлана Иванова:

    Жансая, я рада, что Вам этот подход к запоминанию пригодился! Желаю успехов в учебе!

  2. Жансая:

    спасибо!!! не знала,что можно так легко запомнить)

  3. Сережа:

    Спасибо большое вспомнил 11 класс. Математика великая наука!

Ваш отзыв

Besucherzahler senior people meet
счетчик для сайта