Метод интервалов — универсальный метод решения неравенств. С его помощью можно решить неравенства самого разного вида. Рассмотрим алгоритм метода интервалов, а затем перейдем к примерам решения неравенств этим методом.

Алгоритм решения неравенств методом интервалов.

Прежде чем применить метод интервалов для решении неравенства, необходимо все дроби привести к наименьшему общему знаменателю и все слагаемые перенести в левую часть, чтобы справа остался нуль. Для начала рассмотрим алгоритм решения неравенств вида

    \[\frac{{(x - {x_1})(x - {x_2})...(x - {x_k})}}{{(x - {x_l})(x - {x_n})...(x - {x_s})}} \ge 0\]

1. Приравниваем к нулю левую часть:

    \[\frac{{(x - {x_1})(x - {x_2})...(x - {x_k})}}{{(x - {x_l})(x - {x_n})...(x - {x_s})}} = 0\]

(Таким образом мы находим нули функции

    \[y = \frac{{(x - {x_1})(x - {x_2})...(x - {x_k})}}{{(x - {x_l})(x - {x_n})...(x - {x_s})}}\]

а также ее область определения).

2.Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, поэтому это уравнение равносильно системе:

    \[\frac{{(x - {x_1})(x - {x_2})...(x - {x_k})}}{{(x - {x_l})(x - {x_n})...(x - {x_s})}} = 0 \Leftrightarrow \]

    \[\left\{ \begin{array}{l}(x - {x_1})(x - {x_2})...(x - {x_k}) = 0;\\(x - {x_l})(x - {x_n})...(x - {x_s}) \ne 0.\end{array} \right.\]

3. Полученные точки отмечаем на числовой прямой с учетом области определения функции. Точки разбивают числовую прямую на промежутки, в каждом из которых рассматриваемая функция имеет определенный знак. Выбираем любое число из любого промежутка (удобнее всего брать нуль, если он не входит в отмеченные точки), и подставляем это число в последнее неравенство (то есть в упрощенное неравенство, в котором все слагаемые стоят в левой части и дроби приведены к наименьшему общему знаменателю). В результате определяем знак на выбранном промежутке. Остальные знаки расставляем в шахматном порядке.

4. «Петля»

1)Если есть кратный корень четной степени, то в нем — «петля»:

    \[{(x - {x_h})^{2n}} \ge 0, \Rightarrow x = {x_h} -  \cap \]

2)Если дискриминант равен нулю, то в соответствующем корне x=-b/2a — «петля».

3) Если один и тот же корень встречается четное число раз, то в нем — «петля»:

    \[\frac{{(x - {x_1})(x - {x_2})}}{{(x - {x_2})(x - {x_3})}} \ge 0, \Rightarrow x = {x_2} -  \cap \]

так как корень x2 встречается четное количество раз (два раза).

5. Выбираем промежутки с нужным знаком: если в неравенстве знак > или ≥, берем промежутки с «+»; если < или ≤ — с «-«. Точки, в которых знаменатель обращается в нуль, всегда выколотые.  В остальных случаях запомнить, выколотая точка или закрашенная, можно с помощью ассоциации.

Замечание

Отдельно стоящие закрашенные точки включаем в решение:

метод интервалов

    \[x \in \left( { - \infty ;{x_1}} \right] \cup \left\{ {{x_2};{x_5}} \right\} \cup ({x_3};{x_4}) \cup ({x_6};\infty ).\]

(Знаки в «петлях» — «виртуальные». В этих точках функция обращается нуль либо не определена. «Петля» служит только для сохранения  порядка чередования знаков).

Далее рассмотрим различные примеры решения неравенств с помощью этого метода.

1 отзыв , 31 Авг 2013

Один отзыв на «Метод интервалов»

  1. (без имени):

    … спасибо, вот бы ещё ссылку где объясняется почему возникает «петля»

Ваш отзыв

Besucherzahler senior people meet
счетчик для сайта