Если в задаче дана окружность, вписанная в прямоугольный треугольник, то ее решение может быть связано со свойством отрезков касательных, проведенных из одной точки, и теоремой Пифагора.

Кроме того, следует учесть, что радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляется по формуле

    \[r = \frac{{a + b - c}}{2},\]

где a и b — длины катетов, c — гипотенузы.

Рассмотрим две задачи на вписанную в прямоугольный треугольник окружность.

Задача 1.

Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делит гипотенузу на отрезки 4 см и 6 см. Найти периметр и площадь треугольника и радиус окружности.

окружность вписана в прямоугольный треугольникДано: ∆ ABC, ∠C=90º,

окружность (O, r) — вписанная,

K, M, F — точки касания со сторонами AC, AB, BC,

BM=4 см, AM=6 см.

Найти:

    \[{P_{\Delta ABC,}}{S_{\Delta ABC}},r.\]

Решение:

1) По свойству отрезков касательных, проведенных из одной точки,

окружность, вписанная к прямоугольный треугольникAK=AM=6 см,

BF=BM=4 см,

CK=CF=x см.

2) AB=AM+BM=6+4=10 см,

AC=AK+CK=(6+x) см,

BC=BF+CF=(4+x) см.

3) По теореме Пифагора:

    \[A{C^2} + B{C^2} = A{B^2}\]

    \[{(6 + x)^2} + {(4 + x)^2} = {10^2}\]

    \[36 + 12x + {x^2} + 16 + 8x + {x^2} = 100\]

    \[2{x^2} + 20x - 48 = 0\]

    \[{x^2} + 10x - 24 = 0\]

По теореме Виета,

    \[{x_1} = 2,{x_2} =  - 12.\]

Второй корень не подходит по смыслу задачи. Значит, CK+CF=2 см, AC=8 см, BC=6 см.

4)

    \[{P_{\Delta ABC}} = AB + AC + BC,\]

    \[{P_{\Delta ABC}} = 10 + 8 + 6 = 24(cm),\]

    \[{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AC \cdot BC,\]

    \[{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24(c{m^2}),\]

    \[r = \frac{{AC + BC - AB}}{2},\]

    \[r = \frac{{8 + 6 - 10}}{2} = 2(cm).\]

Ответ: 24 см, 24 см², 2 см.

Задача 2.

Найти площадь прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 26 см, а радиус вписанной окружности — 4 см.

радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольникДано:∆ ABC, ∠C=90º,

окружность (O, r) — вписанная,

K, M, F — точки касания со сторонами AC, AB, BC,

AB=26 см, r=4 см.

Найти:

    \[{S_{\Delta ABC}}\]

Решение:

1) Проведем отрезки OK и OF.

вписанная в прямоугольный треугольник окружность

    \[OK \bot AC,OF \bot BC\]

(как радиусы, проведенные в точки касания).

Четырехугольник OKCF — прямоугольник (так как у него все углы — прямые).

А так как OK=OF (как радиусы), то OKCF — квадрат.

2) По свойству касательных, проведенных из одной точки,

AM=AK=x см,

BF=BM=(26-x) см,

CF=CK=r=4 см.

3) AC=AK+KC=(x+4) см, BC=BF+CF=26-x+4=(30-x) см.

По теореме Пифагора,

    \[A{C^2} + B{C^2} = A{B^2}\]

    \[{(x + 4)^2} + {(30 - x)^2} = {26^2}\]

    \[{x^2} + 8x + 16 + 900 - 60x + {x^2} = 676\]

    \[2{x^2} - 52x + 240 = 0\]

    \[{x^2} - 26x + 120 = 0\]

    \[{x_1} = 20,{x_2} = 6.\]

Если AM=20 см, то AC=24 см, BC=10 см.

Если AM=6 см, то AC=10 см, BC=24 см.

    \[4){S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AC \cdot BC,\]

    \[{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 10 = 120(c{m^2}).\]

Ответ: 120 см².

Отзывов (4) , 06 Авг 2014

Отзывов (4) на «Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник»

  1. Аннет:

    Очень полезная информация!Спасибо

  2. Воха:

    Агромаднейший респект! Решил пару задач, нерешаемых на первый взгляд, класс!!!

  3. Егор:

    Можно решить вторую задачу в одно действие: зная формулу площади через гипотенузу и радиус вписанной окружности: S=r^2+rc, где r-радиус и с-гипотенуза. S=4^2+4*26=16+104=120.

Ваш отзыв

Besucherzahler senior people meet
счетчик для сайта