Пирамида вписана в конус, если основание пирамиды — многоугольник, вписанный в основание конуса. Вершина пирамиды совпадает с вершиной конуса. Боковые ребра вписанной  пирамиды для конуса являются образующими. Соответственно, в этом случае конус описан около пирамиды.

Пирамиду можно вписать в конус, если около ее основания можно описать окружность (другой вариант — пирамида может быть вписана в конус, если все ее боковые ребра равны). Высоты вписанной пирамиды и конуса совпадают.

Если в конус вписана треугольная пирамида, расположение центра описанной окружности зависит от вида треугольника, лежащего в ее основании.

конус описан около пирамиды

конус, описанный около треугольной пирамиды

конус описан около прямоугольной пирамиды

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если этот треугольник остроугольный, центр описанной около пирамиды окружности (а также основание высоты пирамиды и конуса) лежит внутри треугольника, если тупоугольный — вне его. Если в конус вписана прямоугольная пирамида, центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы основания, то есть радиус описанного конуса равен половине гипотенузы. При этом высота конуса и цилиндра совпадает с высотой боковой грани, содержащей гипотенузу.

конус описан около четырехугольной пирамиды

 

Четырехугольную пирамиду можно вписать в конус, если суммы противолежащих углов четырехугольника в основании равны по 180º (из параллелограммов это условие выполняется для прямоугольника и квадрата, из трапеций — только для равнобокой).

 

 

 

 

Найдем отношение объема вписанной пирамиды к объему конуса.

пирамида, вписанная в конусЗдесь SO=H — высота конуса и высота пирамиды, SA=l- образующая конуса, AO=R — радиус конуса(и радиус описанной около основания пирамиды окружности).

    \[\frac{{{V_n}}}{{{V_k}}} = \frac{{\frac{1}{3}{S_{ocn}}H}}{{\frac{1}{3}\pi {R^2}H}} = \frac{{{S_{ocn}}}}{{\pi {R^2}}}.\]

 

 

 

 

 

Если в конус вписана правильная четырехугольная пирамида, получаем:

    \[\frac{{{V_n}}}{{{V_k}}} = \frac{{{a^2}}}{{\pi {R^2}}} = \frac{{{{(R\sqrt 2 )}^2}}}{{\pi {R^2}}} = \frac{{2{R^2}}}{{\pi {R^2}}} = \frac{2}{\pi }.\]

треугольная пирамида, вписанная в конус

 

 

 

 

 

 

 

Если в конус вписана правильная треугольная пирамида:

    \[\frac{{{V_n}}}{{{V_k}}} = \frac{{\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}}}{{\pi {R^2}}} = \frac{{\frac{{{{(R\sqrt 3 )}^2}\sqrt 3 }}{4}}}{{\pi {R^2}}} = \frac{{3\sqrt 3 {R^2}}}{{4\pi {R^2}}} = \frac{{3\sqrt 3 }}{{4\pi }}.\]

(Подсказка, как запомнить формулу правильного треугольника).

 

 

в конус вписана 6угольная пирамидаКогда в конус вписана правильная шестиугольная пирамида, отношение объема пирамиды к объему конуса равно:

    \[\frac{{{V_n}}}{{{V_k}}} = \frac{{\frac{{3\sqrt 3 {a^2}}}{2}}}{{\pi {R^2}}} = \frac{{\frac{{3\sqrt 3 {R^2}}}{2}}}{{\pi {R^2}}} = \frac{{3\sqrt 3 }}{{2\pi }}.\]

(Подсказка, как запомнить формулу площади правильного шестиугольника).

 

 

 

 

 

Если в конус вписана правильная пирамида, проекцией ее апофемы на плоскость основания является радиус вписанной в основание окружности (на рисунках SF — апофема, OF=r). Таким образом, в зависимости от начальных данных, в ходе решения задачи на вписанную в конус пирамиду можно рассмотреть прямоугольный треугольник SOA либо SOF (или оба).

 

 

 

 

Ваш отзыв , 03 Апр 2013

Ваш отзыв

Besucherzahler senior people meet
счетчик для сайта