« »

Рубрика: Легкое решение

Найти sin (arccos x)

Хотя синус арккосинуса ( sin arccos x) несложно найти через тригонометрическую единицу, более простое и наглядное решение можно получить через геометрическую интерпретацию синуса и косинуса, определение  арккосинуса и теорему Пифагора.

По определению арккосинуса, если

    \[\arccos x = \alpha , \Rightarrow \cos \alpha = x.\]

Но в прямоугольном треугольнике косинус равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:

    \[\cos \alpha = \frac{a}{c}.\]

Нам нужен синус этого же угла альфа. А он равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

    \[\sin \alpha = \frac{b}{c}.\]

Противолежащий катет находим по теореме Пифагора: 

    \[b = \sqrt {{c^2} - {a^2}} \]

Отсюда

    \[\sin (\arccos x) = \frac{{\sqrt {{c^2} - {a^2}} }}{c},\]

где

    \[x = \frac{a}{c}.\]

Примеры

1) Найти sin (arccos (1/3)).

В этом примере x=1/3, отсюда прилежащий катет a=1, гипотенуза c=3. Находим противолежащий катет b:

    \[b = \sqrt {{3^2} - {1^2}} = \sqrt 8 = 2\sqrt {2.} \]

Отсюда

    \[\sin (\arccos \frac{1}{3}) = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.\]

2) Найти sin (arccos (3/5)) (или sin (arccos  0,6)).

Арккосинус трех пятых — это число, косинус которого равен 3/5. Косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе. Значит, прилежащий катет а=3, гипотенуза с=5. Отсюда противолежащий катет  — 4. Синус — отношение противолежащего катета к гипотенузе. Отсюда

    \[{\text{sin }}\left( {{\text{arccos }}\left( {{\text{3}}/{\text{5}}} \right)} \right) = \frac{4}{5}.\]

 

2 комментария , 08 Авг 2012

2 комментария на «Найти sin (arccos x)»

  1. Валя:
    03.11.2016 в 8:50 пп

    Я так понимаю, что формула для sin(arccos(x)) верна только для 0 <= x <= Pi/2. Для других x она не доказана

    Ответить

Ваш отзыв на Валя

Нажмите, чтобы отменить ответ.