« »

Рубрика: Легкое решение

Найти sin (arctg x)

Легко найти синус  арктангенса sin (arctg)   с помощью определений тангенса и синуса  в прямоугольном треугольнике, определения арктангенса и теоремы Пифагора.

 

Итак, найти sin (arctg x). Арктангенс икса — это такое число альфа,

    \[\alpha \in ( - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}),\]

что

    \[tg\alpha = x.\]

Но тангенс угла альфа в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему, то есть

    \[tg\alpha = \frac{b}{a}.\]

А синус этого угла — это отношение противолежащего катета к гипотенузе, то есть

    \[\sin \alpha = \frac{b}{c}\]

Гипотенузу c найдем по теореме Пифагора:

    \[c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} .\]

Таким образом получили, что синус от арктангенса

    \[\sin (arctgx) = \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }},\]

где

    \[x = \frac{b}{a}.\]

1) Найти sin (arctg (3/4)).

Чтобы найти sin (arctg (3/4)), применим рассуждения для случая a=4,  b=3. Отсюда

    \[c = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5\]

    \[\sin (arctg\frac{3}{4}) = \frac{3}{5}\]

2) Найти sin(arctg 3)

a=1, b=3.

    \[c = \sqrt {{1^2} + {3^2}} = \sqrt {10} \]

    \[\sin (arctg3) = \frac{3}{{\sqrt {10} }}.\]

2 комментария , 07 Авг 2012

2 комментария на «Найти sin (arctg x)»

  1. bokur58:
    13.01.2014 в 9:39 пп

    отчего же не продолжить?
    Из tg α =x и tg α = b/a следует, что b=a*x. Подставим в sin(arctg())
    = b/sqrt(a^2+b^2)=b/sqrt(a^2+a^2*x^2)=b/a*sqrt(1+x^2)=(b/a)/sqrt(1+x^2)=
    =x/sqrt(1+x^2)

    Ответить
    • Светлана Иванова:
      14.01.2014 в 8:41 пп

      Это обычный путь, который предлагают в учебниках. Мне больше нравится геометрическая интерпретация :).

      Ответить

Ваш отзыв на Светлана Иванова

Нажмите, чтобы отменить ответ.