Тангенс арксинуса tg (arcsin x) легко найти, используя определения тангенса, синуса, арксинуса и теорему Пифагора. Дополнительно привлекать тригонометрические формулы при таком решении не требуется.

Итак, надо найти tg (arcsin x). По определению арксинуса, arcsin x — это такое число α, синус которого равен x:

    \[\arcsin x = \alpha , \Rightarrow \sin \alpha  = x.\]

Но в прямоугольном треугольнике sin α равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

    \[\sin \alpha  = \frac{b}{c},\]

а нам нужно найти тангенс этого же угла. По определению, тангенс — это отношение противолежащего катета к прилежащему:

    \[tg\alpha  = \frac{b}{a}.\]

Таким образом, нам осталось найти прилежащий катет a. Сделаем это по теореме Пифагора:

    \[a = \sqrt {{c^2} - {b^2}} .\]

Отсюда находим tg (arcsin x):

    \[tg(\arcsin x) = \frac{b}{{\sqrt {{c^2} - {b^2}} }},\]

где

    \[x = \frac{b}{c}.\]

Примеры.

1) Найти tg (arcsin 3/5).

Арксинус 3/5 — это такое число α, синус которого равен 3/5. Но синус α — это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Значит, в нашем случае противолежащий катет b = 3, гипотенуза c = 5. Тангенс этого угла α — это отношение противолежащего катета к прилежащему. Прилежащий катет находим по теореме Пифагора:

    \[a = \sqrt {{5^2} - {3^2}}  = 4.\]

Отсюда искомый tg (arcsin 3/5)

    \[tg(\arcsin \frac{3}{5}) = \frac{3}{4}.\]

2) Найти tg (arcsin 1/3).

Здесь x=1/3, то есть противолежащий катет b =1, гипотенуза c =3. Отсюда прилежащий катет а:

    \[a = \sqrt {{3^2} - {1^2}}  = \sqrt 8  = 2\sqrt {2,}  \Rightarrow tg(\arcsin \frac{1}{3}) = \frac{1}{{2\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{4}.\]

Ваш отзыв , 13 Авг 2012

Ваш отзыв

Besucherzahler senior people meet
счетчик для сайта