Как определить точки экстремума на графике функции?

Точки экстремума — это точки минимума и точки максимума функции.

Точка xo называется точкой минимума функции f(x), если для любого x из некоторой окрестности xo выполняется неравенство f(xo)<f(x).

Примеры точек минимума на графике функции.

tochka-minimuma-na-grafikee

 

1)Точка минимума xo имеет вид гладкой «впадины».

Производная в такой точке равна нулю:

f'(xo)=0

Касательная к графику функции, проведённая в точке xo, параллельна оси абсцисс.

 

 

tochka-minimuma-na-grafike-funkcii

 

2)Точка минимума xo имеет вид заострённой «впадины».

Производная в такой точке не существует.

Касательной к графику функции в точке xo не существует.

 

 

 

 

tochka-ehkstremuma-na-grafike-funkcii

 

 

3) Точка минимума xo — изолированная точка графика.

Функция в этой точке не является непрерывной (xo — точка разрыва).

 

 

 

 

 

 

Точка xo называется точкой максимума функции f(x), если для любого x из некоторой окрестности xo выполняется неравенство f(xo)>f(x).

 

Примеры точек максимума на графике функции.

t-max-na-grafike

 

1)Точка максимума xo имеет вид гладкого «холма».

Производная в такой точке равна нулю:

f'(xo)=0

Касательная к графику функции, проведённая в точке xo, параллельна оси абсцисс.

 

 

tochka-maksimuma-na-grafike

 

2)Точка максимума xo имеет вид заострённой «вершины».

Производная в такой точке не существует.

Касательной к графику функции в точке xo не существует.

 

 

 

tochka-maksimuma-na-grafike-funkcii

 

 

 

3) Точка максимума xo — изолированная точка графика.

Функция в этой точке не является непрерывной.

 

 

 

 

И ещё один пример на нахождение точек экстремума по графику функции.

На рисунке дан график функции y=f(x).

Функция имеет 6 точек экстремума.

tochki-ehkstremuma-na-grafike-funkcii

 

x2, x4 , x6 — точки минимума функции y=f(x).

x1, x3, x5 — точки максимума функции y=f(x).

Точки экстремума функции y=f(x) на графике её производной y=f'(x) ищем иначе!

Ваш отзыв , 24 Июн 2021

Ваш отзыв