Если в условии задачи сказано, что в прямоугольную трапецию вписана окружность, можно использовать следующие свойства.

окружность в прямоугольной трапеции

1. Сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон.

2. Расстояния от вершины трапеции до точек касания вписанной окружности равны.

3. Высота прямоугольной трапеции равна ее меньшей боковой стороне и равна диаметру вписанной окружности.

4. Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов трапеции.

5. Если точка касания делит боковую сторону на отрезки m и n, то радиус вписанной окружности равен

    \[r = \sqrt {mn} \]

(Подробнее смотрите «В трапецию вписана окружность«)

И еще два полезных свойства прямоугольной трапеции, в которую вписана окружность:

1) Четырехугольник, образованный центром вписанной окружности, точками касания и вершиной трапеции — квадрат, сторона которого равна радиусу. (AMOE и BKOM — квадраты со стороной r).

2) Если в прямоугольную трапецию вписана окружность, площадь трапеции равна произведению ее оснований.

в прямоугольную трапецию вписана окружность  Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту:

    \[S = \frac{{AD + BC}}{2} \cdot AB\]

Обозначим CF=m, FD=n. Поскольку расстояния от вершин до точек касания равны, высота трапеции равна двум радиусам вписанной окружности, а

    \[r = \sqrt {mn} , \Rightarrow {r^2} = mn,\]

 

    \[AD = AE + ED = r + n,\]

    \[BC = BK + KC = r + m,\]

    \[S = \frac{{r + n + r + m}}{2} \cdot 2r = (2r + m + n)r = \]

    \[ = 2{r^2} + rm + rn = {r^2} + {r^2} + rm + rn = \]

    \[ = {r^2} + mn + rm + rn = (mn + rm) + ({r^2} + nr) = \]

    \[ = m(n + r) + r(n + r) = (n + r)(m + r) = BC \cdot AD.\]

 

 

Отзывов (6) , 01 Май 2013

Отзывов (6) на «В прямоугольную трапецию вписана окружность»

  1. Юрий:

    Очень полезная статья, спасибо!

  2. асманти:

    спасибо,помогли очень!!!

  3. Татьяна:

    Спасибо, выручили!

  4. Рома:

    Полезно, спасибо!

  5. Катерина:

    Спасибо) жаль только, что узнала об этом интересном свойстве только после экзаменов.

Ваш отзыв

Besucherzahler senior people meet
счетчик для сайта