Когда в задаче дана вписанная в шар пирамида, при ее решении будет полезна следующая теоретическая информация.

Если пирамида вписана в шар, то все ее вершины лежат на поверхности этого шара (на сфере), соответственно, расстояния от центра шара до вершин равны радиусу шара.

Каждая грань вписанной в шар пирамиды является вписанным в некоторую окружность многоугольником. Основания перпендикуляров, опущенных из центра шара на плоскости граней, являются центрами этих описанных окружностей. Таким образом, центр описанного около пирамиды шара — точка пересечения перпендикуляров к граням пирамиды, проведенных через центры описанных около граней окружностей.

Чаще центр описанного около пирамиды шара рассматривают как точку пересечения перпендикуляра, проведенного к основанию через центр описанной около основания окружности, и серединного перпендикуляра к боковому ребру (серединный перпендикуляр лежит в плоскости, проходящей через это боковое ребро и первый перпендикуляр (проведенный к основанию). Если около основания пирамиды нельзя описать окружность, то эта пирамида не может быть вписана в шар. Отсюда следует, что около треугольной пирамиды всегда можно описать шар, а вписанная в шар четырехугольная пирамида в основании имеет прямоугольник или квадрат.

Центр описанного около пирамиды шара может лежать внутри пирамиды, на поверхности пирамиды (на боковой грани, на основании), и вне пирамиды. Если в условии задачи не сказано, где именно лежит центр описанного шара, желательно рассмотреть, как могут повлиять на решение различные варианты его расположения.

Около любой правильной пирамиды можно описать шар. Его центр — точка пересечения прямой, содержащей высоту пирамиды, и серединного перпендикуляра к боковому ребру.

 

шар, описанный около пирамиды

 

При решении задач на вписанную в шар пирамиду чаще всего  рассматривают некоторые треугольники.

пирамида, вписанная в шар

Начнем с треугольника SO1C. Он равнобедренный, поскольку две его стороны равны как радиусы шара: SO1=O1С=R. Следовательно, O1F — его высота, медиана и биссектриса.

Прямоугольные треугольники SOC и SFO1 подобны по острому углу S. Отсюда

    \[\frac{{S{O_1}}}{{SC}} = \frac{{SF}}{{SO}} = \frac{{F{O_1}}}{{OC}}\]

SO=H — высота пирамиды, SC=b — длина бокового ребра, SF=b/2, SO1=R, OC=r — радиус окружности, описанной около основания пирамиды. 

    \[\frac{R}{b} = \frac{b}{{2H}} = \frac{{F{O_1}}}{r}\]

    \[ \Rightarrow {b^2} = 2RH\]

В прямоугольном треугольнике OO1C г гипотенуза O1C=R, катеты OC=r, OO1=H-R. По теореме Пифагора: 

    \[{O_1}{C^2} = OO_1^2 + O{C^2}, \Rightarrow \]

    \[{R^2} = {(H - R)^2} + {r^2}\]

шар, описанный около пирамиды

 

Если продолжить высоту SO, получим диаметр SM. Треугольник SCM — прямоугольный (так как вписанный угол  SCM  опирается на диаметр). В нем OC — высота, проведенная к гипотенузе, SO и OM — проекции катетов SC и CM на гипотенузу. По свойствам прямоугольного треугольника,

 

 

    \[O{C^2} = SO \cdot OM, \Rightarrow {r^2} = H(2R - H)\]

и еще раз, только другим путем:

    \[S{C^2} = SO \cdot SM, \Rightarrow {b^2} = 2RH.\]

Эти рассуждения верны не только для правильной пирамиды, но также для пирамиды, основание высоты которой является центром описанной около основания пирамиды окружности.

Ваш отзыв , 10 Фев 2013

Ваш отзыв

Besucherzahler senior people meet
счетчик для сайта