Вписанная в треугольник окружность делит сторону на отрезки

Если в задаче вписанная в треугольник окружность делит его сторону на отрезки, один из возможных вариантов решения — использование свойства отрезков касательных к окружности, проведенных из одной точки.

Рассмотрим две задачи на вписанную в треугольник окружность, решение которых опирается на это свойство касательных.

Задача 1.

Одна из сторон треугольника равна 30 см, а другая делится точкой касания вписанной окружности на отрезки длиной 12 см и 14 см, считая от конца неизвестной стороны. Найти радиус вписанной окружности.

Дано: ∆ ABC,

окружность (O, r) — вписанная,

K, M, F — точки касания со сторонами AB, BC, AC,

AB=30 см, CM=12 см, BM=14 см.

Найти: r.

Решение:

1) По свойству касательных, отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны:

CF=CM=12 см, BK=BM=14 см, AF=AK=AB-BK=30-14=16 см.

AC=AF+CF=16+12=28 см, BC=BM+CM=14+12=26 см.

2) По формуле Герона,

$S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} ,$

где a, b, c — стороны треугольника, p — полупериметр,

$p = \frac{{a + b + c}}{2}$

$p = \frac{{30 + 28 + 26}}{2} = 42(cm)$

$S = \sqrt {42(42 - 30)(42 - 28)(42 - 26)} =$

$= \sqrt {42 \cdot 12 \cdot 14 \cdot 16} = \sqrt {6 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 16} =$

$= 6 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 4 = 336(c{m^2}).$

3) Радиус вписанной окружности найдем по формуле

$r = \frac{S}{p}$

$r = \frac{{336}}{{42}} = 8(cm).$

Ответ: 8 см.

Задача 2.

В треугольнике, периметр которого равен 60 см, одна из сторон делится точкой касания вписанной в него окружности на отрезки 24 см и 5 см. Найти площадь треугольника.

Дано: ∆ ABC,