Если в задаче вписанная в треугольник окружность делит его сторону на отрезки, один из возможных вариантов решения — использование свойства отрезков касательных к окружности, проведенных из одной точки.

Рассмотрим две задачи на вписанную в треугольник окружность, решение которых опирается на это свойство касательных.

Задача 1.

Одна из сторон треугольника равна 30 см, а другая делится точкой касания вписанной окружности на отрезки длиной 12 см и 14 см, считая от конца неизвестной стороны. Найти радиус вписанной окружности.

Дано: ∆ ABC,

окружность (O, r) — вписанная,

K, M, F — точки касания со сторонами AB, BC, AC,

AB=30 см, CM=12 см, BM=14 см.

Найти: r.

Решение:

1) По свойству касательных, отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны:

CF=CM=12 см, BK=BM=14 см, AF=AK=AB-BK=30-14=16 см.

AC=AF+CF=16+12=28 см, BC=BM+CM=14+12=26 см.

2) По формуле Герона,

    \[S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} ,\]

где a, b, c — стороны треугольника, p — полупериметр,

    \[p = \frac{{a + b + c}}{2}\]

    \[p = \frac{{30 + 28 + 26}}{2} = 42(cm)\]

    \[S = \sqrt {42(42 - 30)(42 - 28)(42 - 26)}  = \]

    \[ = \sqrt {42 \cdot 12 \cdot 14 \cdot 16}  = \sqrt {6 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 16}  = \]

    \[ = 6 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 4 = 336(c{m^2}).\]

3) Радиус вписанной окружности найдем по формуле

    \[r = \frac{S}{p}\]

    \[r = \frac{{336}}{{42}} = 8(cm).\]

Ответ: 8 см.

Задача 2.

В треугольнике, периметр которого равен 60 см, одна из сторон делится точкой касания вписанной в него окружности на отрезки 24 см и 5 см. Найти площадь треугольника.

Дано:  ∆ ABC,

окружность (O, r) — вписанная,

K, M, F — точки касания со сторонами AB, BC, AC,

AK=24 см, BK=5 см,

    \[{P_{\Delta ABC}} = 60cm\]

Найти:

    \[{S_{\Delta ABC}}\]

Решение:

1) По свойству касательных, проведенных из одной точки, AF=AK=24 см, BM=BK=5 см, CF=CM= x см.

    \[{P_{\Delta ABC}} = AB + BC + AC\]

    \[{P_{\Delta ABC}} = AK + BK + BM + CM + CF + AF\]

    \[24 + 5 + 5 + x + x + 24 = 60\]

    \[\underline {x = 1} \]

Следовательно, CM=CF=1 см, AB=AK+BK=29 см, BC=BM+CM=6 см, AC=AF+CF=25 см.

2) Полупериметр равен половине периметра: p=60:2=30 см.

По формуле Герона,

    \[S = \sqrt {30(30 - 29)(30 - 25)(30 - 6)}  = \]

    \[S = \sqrt {30(30 - 29)(30 - 25)(30 - 6)}  = \]

    \[ = \sqrt {30 \cdot 1 \cdot 5 \cdot 24}  = \sqrt {6 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 4}  = 6 \cdot 5 \cdot 2 = 60(c{m^2}).\]

Ответ: 60 см².

 

 

Ваш отзыв , 01 Авг 2014

Ваш отзыв

Besucherzahler senior people meet
счетчик для сайта