Задачи на движение — один из самых распространенных видов задач алгебры. Простейшие задачи на движение изучаются еще в начальной школе. В 6-7 классах решение задач на движение сводится к линейному уравнению либо системе линейных уравнений. Здесь мы рассмотрим задачи на движение, которые можно решить с помощью дробного рационального уравнения. При решении задач на движение используем формулу пути:

    \[s = v \cdot t\]

где s — путь, v — скорость, t — время. Как правило, в задачах на движение в 8 классе нужно выразить время через путь и скорость:

    \[t = \frac{s}{v}\]

Чаще всего путь измеряется в километрах, скорость — в километрах в час, время — в часах. Время, заданное в минутах, нужно перевести в часы. Так как в 1 часе 60 минут, то 1 минута — это одна шестидесятая часа, а t минут — t шестидесятых часа:

1 (мин)=1/60(часа). t (мин)=t/60 (часа).

1) Из пункта А в пункт В автомобиль ехал по шоссе протяженностью 210 километров, а возвращался назад по грунтовой дороге протяженность. 160 километров, затратив на обратный путь на 1 час больше, чем на путь из А в В. Найти, с какой скоростью автомобиль двигался по грунтовой дороге, если она на 30 километров в час меньше его скорости по шоссе.

Решение:

Пусть х км/ч — скорость автомобиля по грунтовой дороге, тогда его скорость по шоссе равна (х+30) км/ч.

задача на движение

Составим и решим уравнение:

    \[\frac{{160}}{x} - \frac{{210}}{{x + 30}} = 1\]

    \[\frac{{{{160}^{\backslash (x + 30)}}}}{x} - \frac{{{{210}^{\backslash x}}}}{{x + 30}} - {1^{\backslash x(x + 30)}} = 0\]

    \[\frac{{160x - 4800 - 210x - {x^2} - 30x}}{{x(x + 30)}} = 0\]

    \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - {x^2} - 80x + 4800 = 0\\x(x + 30) \ne 0\end{array} \right.\]

    \[x \ne 0;x \ne  - 30\]

    \[{x^2} + 80x - 4800 = 0\]

    \[{x_1} = 40,{x_2} =  - 120\]

Второй корень не подходит по смыслу задачи, так как скорость не может быть отрицательным числом. Значит, автомобиль по грунтовой дороге двигался со скоростью 40 км/ч.

Ответ: 40 км/ч.

2) Первые 20 км пути велосипедист двигался со скоростью, на 5 км/ч большей скорости, с которой он ехал последние 20 км. С какой скоростью велосипедист проехал вторую половину пути, если на весь путь он затратил 3 часа 20 минут?

Решение:

Пусть II половину пути велосипедист двигался со скоростью х км/ч, тогда его скорость на I половине пути была (х+5)км/ч.

задача на движение

3 часа 20 минут = 3 20/60 =3 1/3 = 10/3 часа.

Составим и решим уравнение:

    \[\frac{{20}}{{x + 5}} + \frac{{20}}{x} = \frac{{10}}{3}\]

Упростим уравнение, разделив почленно обе его части на 10:

    \[\frac{2}{{x + 5}} + \frac{2}{x} = \frac{1}{3}\]

    \[\frac{{{2^{\backslash 3x}}}}{{x + 5}} + \frac{{{2^{\backslash 3(x + 5)}}}}{x} - {\frac{1}{3}^{\backslash x(x + 5)}} = 0\]

    \[\frac{{6x + 6x + 30 - {x^2} - 5x}}{{3x(x + 5)}} = 0\]

    \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - {x^2} + 7x + 30 = 0\\3x(x + 5) \ne 0\end{array} \right.\]

    \[x \ne 0;x \ne  - 5\]

    \[{x^2} - 7x - 30 = 0\]

    \[{x_1} = 10,{x_2} =  - 3\]

Второй корень не подходит по смыслу задачи, так как скорость не может быть отрицательным числом. Значит, II половину пути велосипедист проехал со скоростью 10 км/ч.

Ответ: 10 км/ч.

Отзывов (3) , 15 Май 2013

Отзывов (3) на «Задачи на движение»

  1. Олег:

    «Задачи на движение» можно рассматривать как «задачи на работу», в их основе лежит та же математическая модель. «Скорость движения»= «производительность работы», «расстояние» = «объём работы», а «время» имеет одинаковый смысл и там и там.
    Некоторая разница в том, что объём работы обычно только уменьшается, а вот расстояние может уменьшаться или увеличиваться в зависимости от того, в каком направлении мы движемся.

  2. iron_ledy:

    А мне не много не понятно, от куда взялись -х^2+7х+30

Ваш отзыв

Besucherzahler senior people meet
счетчик для сайта