Задачи на грузоподъемность

« Задачи на работу по плану Задачи на работу »

Задачи на грузоподъемность

Задачи на грузоподъемность (задачи на грузоперевозки) — частный случай задач на работу. Грузоподъемность машины — это ее производительность труда. Вместо времени работы — количество рейсов (если груз перевозит одна машина), либо количество машин.

Эти величины связаны одной из формул:

грузоподъемность

Оформляются задачи на грузоподъемность аналогично задачам на работу по плану — с помощью таблицы. И решаются аналогично — через систему уравнений.

Рассмотрим примеры задач на грузоперевозки.

1) Для перевозки 30 тонн груза машине надо было сделать несколько рейсов. Но груз пришлось перевозить на машине, имеющей грузоподъемность на 2 тонны больше, чем планировалось. Из-за этого для перевозки груза понадобилось на 4 рейса меньше. Найти грузоподъемность машины, перевезшей груз.

Решение:

Пусть по плану машина должна была иметь грузоподъемность x тонн и перевезти груз за y рейсов.

	Грузоподъемность	Количество рейсов	Объем работы
по плану	x	y	30
фактически	(x+2) — ?	y-4	30

Составим и решим систему уравнений:

$\left\{ \begin{array}{l}xy = 30\\(x + 2)(y - 4) = 30\end{array} \right.$

Раскроем скобки во втором уравнении. Заметим, что xy=30, поэтому во втором уравнении заменяем xy на 30 и упрощаем:

$\left\{ \begin{array}{l}xy = 30\\xy - 4x + 2y - 8 = 30\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy = 30\\30 - 4x + 2y - 8 = 30\end{array} \right.$

После упрощения второе уравнение стало линейным. Выразим из него y через x:

$\begin{array}{l} - 4x + 2y - 8 = 0, \Rightarrow 2y = 4x + 8, \Rightarrow y = 2x + 4\\\end{array}$

Подставим полученное выражение в первое уравнение:

$x(2x + 4) = 30, \Rightarrow 2{x^2} + 4x = 30, \Rightarrow {x^2} + 2x - 15 = 0.$

Корни этого уравнения

${x_1} = 3,{x_2} = - 5.$

Второй корень — посторонний (так как грузоподъемность не может быть отрицательным числом). Грузоподъемность машины, перевезшей груз, равна 3+2=5 тонн.

Ответ: 5 тонн.

2) Для перевозки 60 тонн груза было заказано определенное количество грузовиков. Из-за поломки двух из них на каждую машину пришлось грузить на 1 тонну больше, чем планировалось. Сколько машин должно было работать на перевозке груза.

Решение:

Пусть по плану на каждую машину должны были погрузить x тонн и груз должны были перевозить y машин.

Грузоподъемность

Количество

машин

Объем

работы

по плану

y-?

фактически

x+1

y-2

Составим и решим систему уравнений:

$\left\{ \begin{array}{l}xy = 60\\(x + 1)(y - 2) = 60\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}xy = 60\\xy - 2x + y - 2 = 60\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy = 60\\60 - 2x + y - 2 = 60\end{array} \right.$