Рассмотрим типичные задачи на совместную работу из курса алгебры 8-9 классов. Решение таких задач начинается с того, что принимаем всю работу за единицу.

Большинство задач на совместную работу можно решить с помощью дробного рационального уравнения.  Для решения более сложных задач составляют систему уравнений.

Как и другие задачи на работу, задачи на совместную работу связывают время работы, производительность труда и время работы соотношением:

формула производительности труда

Чаще всего за x принимают время работы, а производительность труда выражают через x.

1) Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить производственное задание за 20 дней. За сколько дней может выполнить задание каждый из них, работая самостоятельно, если одному из них для этого надо на 9 дней больше, чем другому?

Решение:

Примем все задание за единицу. Пусть II рабочий, работая самостоятельно, может выполнить все задание за x дней, тогда I — за x+9 дней.

Время

работы

Производительность

труда

Объем

работы

I рабочий

x+9

\frac{1}{{x + 9}}

1

II рабочий

x

    \[\frac{1}{x}\]

1

 

Вместе за 1 день рабочие выполняют

    \[\frac{1}{{x + 9}} + \frac{1}{x}\]

задания. За 20 дней вместе они выполнят все задание. Составим уравнение:

    \[20 \cdot (\frac{1}{{x + 9}} + \frac{1}{x}) = 1\]

    \[\frac{{{{20}^{\backslash x}}}}{{x + 9}} + \frac{{{{20}^{\backslash (x + 9)}}}}{x} - {1^{\backslash x(x + 9)}} = 0\]

    \[\frac{{20x + 20(x + 9) - x(x + 9)}}{{x(x + 9)}} = 0\]

    \[\frac{{20x + 20x + 180 - {x^2} - 9x}}{{x(x + 9)}} = 0\]

    \[\frac{{ - {x^2} + 31x + 180}}{{x(x + 9)}} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - {x^2} + 31x + 180 = 0\\x(x + 9) \ne 0\end{array} \right.\]

    \[x(x + 9) \ne 0, \Rightarrow x \ne 0;x \ne  - 9\]

    \[{x^2} - 31x - 180 = 0\]

    \[{x_1} = 36,{x_2} =  - 5.\]

Второй корень не подходит по смыслу задачи (так как время не может быть отрицательным числом). Значит, II рабочий, работая самостоятельно, может выполнить всю работу за 36 дней, а I — за 36+9=45 дней.

Ответ: за 45 дней и 36 дней.

И еще одна задача на совместную работу.

2) Один насос может наполнить бассейн на 24 часа быстрее, чем другой. Через 8 часов после того, как был включен второй насос, включили первый, и через 20 часов совместной работы оказалось, что заполнено 2/3 бассейна. За сколько часов может наполнить бассейн каждый насос, работая самостоятельно?

Решение:

Примем весь бассейн за 1. Пусть I насос, работая самостоятельно, может наполнить весь бассейн за x часов, тогда II — за x+24 часа.

Время

работы

Производительность

труда

Объем

работы

I насос

x

\frac{1}{{x }}

1

II насос

x+24

    \[\frac{1}{x+24}\]

1

Известно, что II насос был включен 8+20=28 часов, а I — 20 часов, и за это время они наполнили 2/3 бассейна. Составим и решим уравнение:

    \[\frac{{20}}{x} + \frac{{28}}{{x + 24}} = \frac{2}{3}\]

Обе части уравнения делим почленно на 2 и переносим все слагаемые в левую часть:

    \[\frac{{{{10}^{\backslash 3(x + 24)}}}}{x} + \frac{{{{14}^{\backslash 3x}}}}{{x + 24}} - {\frac{1}{3}^{\backslash x(x + 24)}} = 0\]

    \[\frac{{30(x + 24) + 42x - x(x + 24)}}{{3x(x + 9)}} = 0\]

    \[\frac{{30x + 720 + 42x - {x^2} - 24x}}{{3x(x + 24)}} = 0\]

    \[\frac{{30x + 720 + 42x - {x^2} - 24x}}{{3x(x + 24)}} = 0\]

    \[\frac{{ - {x^2} + 48x + 720}}{{3x(x + 24)}} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - {x^2} + 48x + 720 = 0\\3x(x + 24) \ne 0\end{array} \right.\]

    \[3x(x + 24) \ne 0, \Rightarrow x \ne 0;x \ne  - 24\]

    \[ - {x^2} + 48x + 720 = 0\]

    \[{x^2} - 48x - 720 = 0\]

    \[{x_1} = 60,{x_2} =  - 12.\]

Второй корень — посторонний. Значит, I насос может наполнить бассейн самостоятельно за 60 часов, а II — за 60+24=84 часа.

Ответ: за 60 часов и 84 часа.

 

Ваш отзыв , 07 Май 2013

Ваш отзыв

Besucherzahler senior people meet
счетчик для сайта