Рассмотрим задачи, в которых биссектриса угла трапеции делит противоположное основание на отрезки.
Мы уже имели дело с похожей задачей на биссектрису угла параллелограмма, а также рассматривали частный случай для трапеции (когда основание трапеции равно ее боковой стороне, биссектриса трапеции совпадает с ее диагональю).
I. Биссектриса острого угла при большем основании трапеции делит другое основание на отрезки.
1) ∠BAF=∠DAF (так как AF — биссектриса ∠BAD по условию).
2) ∠DAF=∠BFA (как внутренние накрест лежащие при AD∥BC и секущей AF).
3) Следовательно, ∠BAF=∠BFA.
4) Следовательно, треугольник ABF — равнобедренный с основанием AF (по признаку равнобедренного треугольника).
5) Следовательно, AB=BF.
II. Биссектриса тупого угла при меньшем основании трапеции делит другое основание на отрезки.
Аналогично доказывается, что треугольник ABP — равнобедренный:
1) ∠ABP=∠CBP (так как BP — биссектриса ∠ABC по условию).
2) ∠CBP=∠APB (как внутренние накрест лежащие при AD∥BC и секущей BP).
3) Следовательно, ∠ABP=∠APB.
4) Следовательно, треугольник ABP — равнобедренный с основанием BP (по признаку равнобедренного треугольника).
5) Следовательно, AB=AP.
Вывод: в этом случае
биссектриса угла трапеции отсекает от нее равнобедренный треугольник.
Эта задачи — базовые. На их основе существует много других задач.
В следующий раз рассмотрим задачи на пересечение двух биссектрис трапеции.
Отличный сайт. Огромное спасибо за информацию. Помогло при сдаче второй части огэ:)