Подобные треугольники в трапеции

« Задачи на подобие треугольников arcsin(x)+arcsin(-x) »

Рубрика: Подобие треугольников

Подобные треугольники в трапеции

Рассмотрим базовые задачи на подобные треугольники в трапеции.

I. Точка пересечения диагоналей трапеции — вершина подобных треугольников.

диагонали трапеции пересекаются и образуют треугольники

Рассмотрим треугольники AOD и COB.

подобные треугольники в трапеции при пересечении диагоналей

Визуализация облегчает решение задач на подобие. Поэтому подобные треугольники в трапеции выделим разными цветами.

1) ∠AOD=∠COB (как вертикальные);

2)∠DAO=∠BCO (как внутренние накрест лежащие при AD ∥ BC и секущей AC).

Следовательно, треугольники AOD и COB подобны (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

$\frac{{AD}}{{BC}} = \frac{{DO}}{{BO}} = \frac{{AO}}{{CO}}.$

Задача.

Одна из диагоналей трапеции равна 28 см и делит другую диагональ на отрезки длиной 5 см и 9 см. Найти отрезки, на которые точка пересечения диагоналей делит первую диагональ.

Решение:

AO=9 см, CO=5 см, BD=28 см. BO =?, DO- ?

Доказываем подобие треугольников AOD и COB. Отсюда

$\frac{{AD}}{{BC}} = \frac{{DO}}{{BO}} = \frac{{AO}}{{CO}}.$

Выбираем нужные отношения:

$\frac{{DO}}{{BO}} = \frac{{AO}}{{CO}}.$

Пусть BO=x см, тогда DO=28-x см. Следовательно,

$\frac{{28 - x}}{x} = \frac{9}{5}$

$9x = 5(28 - x)$

$9x + 5x = 140$

$x = 10$

BO=10 см, DO=28-10=18 см.

Ответ: 10 см, 18 см.

Задача

Известно, что О — точка пересечения диагоналей трапеции ABCD (AD ∥ BC). Найти длину отрезка BO, если AO:OC=7:6 и BD=39 см.

Решение:

Аналогичн0, доказываем подобие треугольников AOD и COB и

$\frac{{DO}}{{BO}} = \frac{{AO}}{{CO}}.$

Пусть BO=x см, тогда DO=39-x см. Таким образом,

$\frac{{39 - x}}{x} = \frac{7}{6}$

$7x = 6(39 - x)$

$x = 18$

Ответ: 18 см.

II. Продолжения боковых сторон трапеции пересекаются в точке.

продолжения боковых сторон трапеции пересекаются в точке

Аналогично задаче I, рассмотрим треугольники AFD и BFC:

1) ∠F — общий;

2)∠ DAF=∠CBF (как соответственные углы при BC ∥ AD и секущей AF).

Следовательно, треугольники AFD и BFC подобны (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

$\frac{{AD}}{{BC}} = \frac{{AF}}{{BF}} = \frac{{DF}}{{CF}}.$

Задача

Продолжения боковых сторон AB и CD трапеции ABCD пересекаются в точке F. Меньшее основание BC равно 4 см, BF=5 см, AB=15 см. Найти большее основание трапеции.

Решение:

Доказываем, треугольники AFD и BFC — подобны.

Следовательно,

$\frac{{AD}}{{BC}} = \frac{{AF}}{{BF}},$