Для удобной работы все формулы для решения простейших тригонометрических уравнений, включая частные случаи, а также таблицы арксинусов, арккосинусов, арктангенсов и арккотангенсов собраны на одной странице.

I. sin x =a

При │a│>1 это уравнение решений не имеет.

При │a│не превосходящем 1 уравнение имеет бесконечное множество решений:

    \[x = {( - 1)^n}\arcsin a + \pi n,(n \in Z)\]

Таблица арксинусов

    \[\begin{array}{*{20}{c}} a&{ - 1}&{ - \frac{{\sqrt 3 }}{2}}&{ - \frac{{\sqrt 2 }}{2}}&{ - \frac{1}{2}}&0&{\frac{1}{2}}&{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}&{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}&1 \\ {\arcsin a}&{ - \frac{\pi }{2}}&{ - \frac{\pi }{3}}&{ - \frac{\pi }{4}}&{ - \frac{\pi }{6}}&0&{\frac{\pi }{6}}&{\frac{\pi }{4}}&{\frac{\pi }{3}}&{\frac{\pi }{2}} \end{array}\]

    \[\arcsin ( - a) =  - \arcsin a\]

II. cos x=a

При │a│>1 это уравнение решений не имеет.

При │a│не превосходящем 1 уравнение имеет бесконечное множество решений:

    \[x =  \pm \arccos a + 2\pi n,(n \in Z).\]

Таблица арккосинусов

    \[\begin{array}{*{20}{c}} a&{ - 1}&{ - \frac{{\sqrt 3 }}{2}}&{ - \frac{{\sqrt 2 }}{2}}&{ - \frac{1}{2}}&0&{\frac{1}{2}}&{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}&{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}&1 \\ {\arccos a}&\pi &{\frac{{5\pi }}{6}}&{\frac{{3\pi }}{4}}&{\frac{{2\pi }}{3}}&{\frac{\pi }{2}}&{\frac{\pi }{3}}&{\frac{\pi }{4}}&{\frac{\pi }{6}}&0 \end{array}\]

    \[\arccos ( - a) = \pi  - \arccos a\]

Частные случаи синуса и косинуса:

Формулы тригонометрических уравнений

III. tg x=a

Уравнение имеет бесконечное множество решений при любых значениях a.

    \[x = arctga + \pi n,(n \in Z).\]

Таблица арктангенсов

    \[\begin{array}{*{20}{c}} a&{ - \sqrt 3 }&{ - 1}&{ - \frac{{\sqrt 3 }}{3}}&0&{\frac{{\sqrt 3 }}{3}}&1&{\sqrt 3 } \\ {arctga}&{ - \frac{\pi }{3}}&{ - \frac{\pi }{4}}&{ - \frac{\pi }{6}}&0&{\frac{\pi }{6}}&{\frac{\pi }{4}}&{\frac{\pi }{3}} \end{array}\]

    \[arctg( - a) =  - arctga\]

IV. ctg x = a

Уравнение имеет бесконечное множество решений при любых значениях a.

    \[x = arcctga + \pi n,(n \in Z).\]

Таблица арккотангенсов

    \[\begin{array}{*{20}{c}} a&{ - \sqrt 3 }&{ - 1}&{ - \frac{{\sqrt 3 }}{3}}&0&{\frac{{\sqrt 3 }}{3}}&1&{\sqrt 3 } \\ {arcctga}&{\frac{{5\pi }}{6}}&{\frac{{3\pi }}{4}}&{\frac{{2\pi }}{3}}&{\frac{\pi }{2}}&{\frac{\pi }{3}}&{\frac{\pi }{4}}&{\frac{\pi }{6}} \end{array}\]

    \[\operatorname{arcc} tg( - a) = \pi  - \operatorname{arcc} tga\]

 

Отзывов (21) , 25 Окт 2012

Отзывов (21) на «Формулы тригонометрических уравнений»

  1. Алёна:

    Отличный сайт, спасибо, помог.

  2. Светлана Иванова:

    Спасибо за отличную оценку!
    Я рада, что сайт Вам помог.

  3. леша:

    спасибо огромное !!!

  4. Aриша:

    Сайт действительно хороший =)
    Интересно, просто, ясно.
    Спасибо Вам, Светлана Иванова!

  5. Анастасия:

    Опечатка в таблице арккотангенсов )
    А так все отлично, хорошая статья

  6. Антон:

    Не силен в этих науках и школу прогуливал всегда!Жалею теперь об этом!Но вот беда ума не могу приложить что может значить arccos0,932 что это?с чем его едят ?И как его посчитать!Смотрю на выше написанное и не пойму как мне это применить!Помгите убогому!

    • Светлана Иванова:

      Антон, разобраться в математике можно в любом возрасте, было бы желание. Но придется потрудиться (а где без этого?).
      arccos 0,932 — это такое число из промежутка [0;П], косинус которого равен 0,932.
      Можно открыть таблицу Брадиса и найти угол, косинус которого равен этому числу: [0,932 approx cos {21^o}]Далее, если требуется ответ представить в радианах, градусы переводим в радианы. [pi = {180^o}, Rightarrow {1^o} = frac{pi }{{180}},][{21^o} = 21 cdot frac{pi }{{180}} = frac{{7pi }}{{60}}.]Отсюда [arccos 0,932 approx frac{{7pi }}{{60}}.]
      Если же arccos 0,932 появился в ходе решения тригонометрического уравнения — оставляйте его в таком виде.
      Например:[cos x = 0,932][x = pm arccos 0,932 + 2pi n,n in Z.]Все, дальше ничего считать не надо (запись в таком виде — точное решение, а при нахождении арккосинуса ответ станет не точным, а приближенным. Поэтому его и не принято упрощать).

      • Антон:

        Светлана спасибо вам большое за помощь)Есть еще один вопросик я весь google перекопал. Какова единица измерения числа которое получается в результате вычисления cos или sin угла например sin47.376 градусов =0,735??какая единица измерения Arccos0,735=42.692???что это за величина и какая ее единица измерения?Голова дымит, а надо знать это,а то на работу не возьмут!

        • Светлана Иванова:

          Косинус угла и синус угла — это просто число (в пределах от -1 до 1). Неважно, задан угол в градусах или в радианах.
          Теперь — об арксинусах и арккосинусах. Если использовать таблицу Брадиса, arccos0,735 ищем как угол, косинус которого равен 0,735. [cos {42^o} approx 0,735]То есть Ваши 42.692, насколько я понимаю, градусы. Но в градусах значения арккосинуса и арксинуса не оставляют. Нужно перевести в радианы. [{42^o} = 42 cdot frac{pi }{{180}} = frac{{7pi }}{{30}}.]7П/30 радиан, радианы не пишут. Радианная мера позволяет от градусной меры угла перейти к числам, чтобы потом графики тригонометрических функций в декартовой системе координат строить можно было, например.

          • Антон:

            Спасибо вы целиком и полностью удовлетворили мой интерес!

  7. Дмитрий:

    Спасибо за шпору =), пошел сдавать

  8. Nick:

    Ещё о таблицах. Точнее их отсутствии…
    на калькуляторе мы получаем cos, затем arccos. Верно ли я понимаю, что значения arccos вычисляются в радианной мере, и после этого следует обязательно перевести в градусную меру? (Таблицы Брадиса, также как и любые другие, идут уже (!) с перерасчетом радианов в градусы?!?) …но таблиц нет, к примеру. Некоторые on-line–научные калькуляторы имеют опцию переключения с градусов в радианы и/или наоборот; при этом по умолчанию может стоять опция (галочка) как радианной меры, так и градусной.
    Вопрос: в каких случаях надобно переходить с радианов в градусы?
    (функции MS Office Excel, например, предусматривают именно трёхстадийный процесс вычисления: cos, arccos, затем перевод радианов в градусы).
    И ещё вопросик: Таблицы содержат значения синусов/косинусов только для острых углов в ПРЯМОУГОЛЬНОМ треугольнике?
    Пример, имеется равносторонний треугольник (все стороны и углы равны), нам надо найти угол (мы его не знаем). Сторона (все три стороны равны) = 60 см. Т.е. поделив все [равные] стороны получим
    sin = cos = tg = ctg = sec = cosec = 1
    но по этому значению угол [каковой реально 60°] найти в таблицах невозможно?!? Спасибо!

    • Светлана Иванова:

      Nick, прошу прощения, что затянула с ответом. Меня мучает совесть(
      С калькулятором я практически не работаю, предпочитаю считать либо устно, либо письменно. Если нужно, пользуюсь таблицами Брадиса. Над нюансами вычислений с калькулятором не задумывалась.
      Значения синуса и косинуса зависят только от угла, но не от вида треугольника. Мы вводим определение синуса в прямоугольном треугольнике как отношение противолежащего катета к гипотенузе, потом расширяем определение, называя синусом угла альфа ординату точки единичной окружности, полученной из точки (1;0) поворотом на угол альфа.
      Синус угла в произвольном треугольнике можно найти посредством через теорему синусов, через площадь треугольника (из формулы S=1/2 ab sin α), или провести высоту и рассмотреть прямоугольный треугольник.
      В таблице Брадиса значения тригонометрических функций даны только для острых углов. Для тупых углов значения находят с помошью формул приведения.

  9. тамара:

    Объясните мне, пожалуйста, если п принадлежит Z, где п — , Z — .я не могу понять когда п четное, п — нечетное и что такое Z?

    • Тамара, семейство решений для общего случая уравнений sinx=a

          \[x = {( - 1)^n}\arcsin a + \pi n,(n \in Z)\]

      можно разбить на два семейства решений:
      1) при n=2k (то есть для чётных)

          \[x = \arcsin a + 2\pi k,(k \in Z)\]

      2) при n=2m+1 (то есть для нечётных)

          \[x = \pi  - \arcsin a + 2\pi m,(m \in Z)\]

      Z — множество целых чисел, то есть 0; ±1; ±2; ±3; …

  10. Евгения:

    Страница интересная,но я не нашла частные случаи для тангенса и котангенса.Помогите пожалуйста(очень нужно

    • Светлана Иванова:

      Евгения, формул частных случаем для тангенса и котангенса нет. Иногда частными случаями называют уравнения вида tgx=1; tgx=-1; ctgx=1; ctgx=-1, но общая формула верна и для каждого из этих случаев.

Ваш отзыв

Besucherzahler senior people meet
счетчик для сайта