Как избавиться от иррациональности в знаменателе? Рассмотрим общие случаи и конкретные примеры.

    \[I)\frac{a}{{b\sqrt c }}\]

Если число или выражение, стоящее под знаком квадратного корня в знаменателе, является одним из множителей, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе и числитель, и знаменатель дроби умножаем на квадратный корень из этого числа или выражения:

    \[\frac{a}{{b\sqrt c }} = \frac{{a \cdot \sqrt c }}{{b\sqrt c  \cdot \sqrt c }} = \frac{{a\sqrt c }}{{bc}}\]

Примеры.

Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:

    \[1)\frac{4}{{\sqrt {a + b} }};2)\frac{6}{{\sqrt 3 }};3)\frac{8}{{3\sqrt 2 }}.\]

Решение:

    \[1)\frac{4}{{\sqrt {a + b} }} = \frac{{4 \cdot \sqrt {a + b} }}{{\sqrt {a + b}  \cdot \sqrt {a + b} }} = \frac{{4\sqrt {a + b} }}{{a + b}};\]

    \[2)\frac{6}{{\sqrt 3 }} = \frac{{6 \cdot \sqrt 3 }}{{\sqrt 3  \cdot \sqrt 3 }} = \frac{{6\sqrt 3 }}{3} = 2\sqrt 3 ;\]

    \[3)\frac{8}{{3\sqrt 2 }} = \frac{{8 \cdot \sqrt 2 }}{{3\sqrt 2  \cdot \sqrt 2 }} = \frac{{8\sqrt 2 }}{{3 \cdot 2}} = \frac{{4\sqrt 2 }}{3}.\]

В общем случае

    \[II)\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^k}}}}}\]

    \[\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^k}}}}} = \frac{{a \cdot \sqrt[n]{{{c^{n - k}}}}}}{{b\sqrt[n]{{{c^k}}} \cdot \sqrt[n]{{{c^{n - k}}}}}}\]

Примеры:

    \[1)\frac{{20}}{{\sqrt[3]{5}}};2)\frac{6}{{\sqrt[5]{{27}}}};3)\frac{{{a^5}}}{{\sqrt[7]{{{a^4}}}}}.\]

Решение:

    \[1)\frac{{20}}{{\sqrt[3]{5}}} = \frac{{20\cdot\sqrt[3]{{{5^2}}}}}{{\sqrt[3]{5}\cdot\sqrt[3]{{{5^2}}}}} = \frac{{20\sqrt[3]{{25}}}}{5} = 4\sqrt[3]{{25}};\]

    \[2)\frac{6}{{\sqrt[5]{{27}}}} = \frac{6}{{\sqrt[5]{{{3^3}}}}} = \frac{{6 \cdot \sqrt[5]{{{3^2}}}}}{{\sqrt[5]{{{3^3}}} \cdot \sqrt[5]{{{3^2}}}}} = \frac{{6\sqrt[5]{9}}}{3} = 2\sqrt[5]{9};\]

    \[3)\frac{{{a^5}}}{{\sqrt[7]{{{a^4}}}}} = \frac{{{a^5} \cdot \sqrt[7]{{{a^3}}}}}{{\sqrt[7]{{{a^4}}} \cdot \sqrt[7]{{{a^3}}}}} = \frac{{{a^5} \cdot \sqrt[7]{{{a^3}}}}}{a} = {a^4} \cdot \sqrt[7]{{{a^3}}}.\]

Если знаменатель дроби — сумма либо разность двух выражений, содержащих квадратный или кубический корень, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе умножаем и числитель, и знаменатель на сопряженный радикал:

    \[III)\frac{a}{{\sqrt b  + \sqrt c }} = \frac{{a(\sqrt b  - \sqrt c )}}{{(\sqrt b  + \sqrt c )(\sqrt b  - \sqrt c )}} = \frac{{a(\sqrt b  - \sqrt c )}}{{b - c}};\]

    \[\frac{a}{{\sqrt b  - \sqrt c }} = \frac{{a(\sqrt b  + \sqrt c )}}{{(\sqrt b  - \sqrt c )(\sqrt b  + \sqrt c )}} = \frac{{a(\sqrt b  + \sqrt c )}}{{b - c}};\]

    \[\frac{a}{{\sqrt[3]{b} \pm \sqrt[3]{c}}} = \frac{{a(\sqrt[3]{{{b^2}}} \mp \sqrt[3]{{bc}} + \sqrt[3]{{{c^2}}})}}{{(\sqrt[3]{b} \pm \sqrt[3]{c})(\sqrt[3]{{{b^2}}} \mp \sqrt[3]{{bc}} + \sqrt[3]{{{c^2}}})}} = \]

    \[ = \frac{{a(\sqrt[3]{{{b^2}}} \mp \sqrt[3]{{bc}} + \sqrt[3]{{{c^2}}})}}{{b \pm c}};\]

    \[\frac{a}{{\sqrt[3]{{{b^2}}} \pm \sqrt[3]{{bc}} + \sqrt[3]{{{c^2}}}}} = \frac{{a(\sqrt[3]{b} \mp \sqrt[3]{c})}}{{(\sqrt[3]{{{b^2}}} \pm \sqrt[3]{{bc}} + \sqrt[3]{{{c^2}}})(\sqrt[3]{b} \mp \sqrt[3]{c})}} = \]

    \[ = \frac{{a(\sqrt[3]{b} \mp \sqrt[3]{c})}}{{b \mp c}}.\]

Примеры.

Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:

    \[1)\frac{{33}}{{\sqrt {17}  - \sqrt 6 }};2)\frac{{21}}{{5 + \sqrt {18} }};3)\frac{{26}}{{5 - 2\sqrt 3 }};\]

    \[4)\frac{5}{{\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{4}}};5)\frac{7}{{\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{{10}} + \sqrt[3]{{25}}}}.\]

Решение:

    \[1)\frac{{33}}{{\sqrt {17}  - \sqrt 6 }} = \frac{{33(\sqrt {17}  + \sqrt 6 )}}{{(\sqrt {17}  - \sqrt 6 )(\sqrt {17}  + \sqrt 6 )}} = \]

    \[ = \frac{{33(\sqrt {17}  + \sqrt 6 )}}{{17 - 6}} = \frac{{33(\sqrt {17}  + \sqrt 6 )}}{{11}} = 3(\sqrt {17}  + \sqrt 6 );\]

    \[2)\frac{{21}}{{5 + \sqrt {18} }} = \frac{{21(5 - \sqrt {18} )}}{{(5 + \sqrt {18} )(5 - \sqrt {18} )}} = \frac{{21(5 - \sqrt {18} )}}{{25 - 18}} = \]

    \[ = \frac{{21(5 - \sqrt {18} )}}{7} = 3(5 - \sqrt {18} );\]

    \[3)\frac{{26}}{{5 - 2\sqrt 3 }} = \frac{{26(5 + 2\sqrt 3 )}}{{(5 - 2\sqrt 3 )(5 + 2\sqrt 3 )}} = \frac{{26(5 + 2\sqrt 3 )}}{{{5^2} - {{(2\sqrt 3 )}^2}}} = \]

    \[ = \frac{{26(5 + 2\sqrt 3 )}}{{25 - 12}} = \frac{{26(5 + 2\sqrt 3 )}}{{13}} = 2(5 + 2\sqrt 3 );\]

    \[4)\frac{5}{{\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{4}}} = \frac{{5(\sqrt[3]{{{9^2}}} + \sqrt[3]{{9 \cdot 4}} + \sqrt[3]{{{4^2}}})}}{{(\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{4})(\sqrt[3]{{{9^2}}} + \sqrt[3]{{9 \cdot 4}} + \sqrt[3]{{{4^2}}})}} = \]

    \[ = \frac{{5(\sqrt[3]{{81}} + \sqrt[3]{{36}} + \sqrt[3]{{16}})}}{{{{(\sqrt[3]{9})}^3} - {{(\sqrt[3]{4})}^3}}} = \frac{{5(\sqrt[3]{{81}} + \sqrt[3]{{36}} + \sqrt[3]{{16}})}}{{9 - 4}} = \]

    \[ = \frac{{5(\sqrt[3]{{81}} + \sqrt[3]{{36}} + \sqrt[3]{{16}})}}{5} = \sqrt[3]{{81}} + \sqrt[3]{{36}} + \sqrt[3]{{16}};\]

    \[5)\frac{7}{{\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{{10}} + \sqrt[3]{{25}}}} = \frac{{7(\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5})}}{{(\sqrt[3]{{{2^2}}} - \sqrt[3]{{2 \cdot 5}} + \sqrt[3]{{{5^2}}})(\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5})}} = \]

    \[ = \frac{{7(\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5})}}{{{{(\sqrt[3]{2})}^3} + {{(\sqrt[3]{5})}^3}}} = \frac{{7(\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5})}}{7} = \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5}.\]

Отзывов (20) , 27 Май 2013

Отзывов (20) на «Как избавиться от иррациональности в знаменателе»

  1. Колян:

    Отличные объяснения заходите не пожалеете)

  2. Лейли:

    спасибо большое)) я все поняла) пробелы заполнены)советую другим заходить, все просто и элементарно) еще раз спасибо! =)

  3. максим плахотный:

    Большое спасибо! тему я плохо понимаю когда объясняют, а здесь сразу все понятно так бы и по и геометрии, мне ее хоть молотком в голову забивай все ровно не пойму ))

    • Светлана Иванова:

      Максим, по геометрии очень важно знание теории.И нужно немного поработать на начальном этапе, чтобы научиться теорию применять. А дальше — уже полегче.

  4. Ваня:

    Спасибо ребят все просто и понятно прям глаз радуеться)

  5. Виктор:

    Все просто, доступно и понятно. Спасибо большое.

  6. Лёшка:

    Спасибо, помогли :)

  7. Лёшка:

    Хотя, к сожалению, нету случая подобия: «1 / (sqrt(2)+sqrt(5,3))» Не знаю как ещё написать на более просто языке, ведь символа корня нету)

    • Светлана Иванова:

      [frac{1}{{sqrt 2 + sqrt {5,3} }} = frac{{1cdot(sqrt 2 — sqrt {5,3} )}}{{(sqrt 2 + sqrt {5,3} )cdot(sqrt 2 — sqrt {5,3} )}} = ][ = frac{{sqrt 2 — sqrt {5,3} }}{{{{(sqrt 2 )}^2} — {{(sqrt {5,3} )}^2}}} = frac{{sqrt 2 — sqrt {5,3} }}{{2 — 5,3}} = frac{{sqrt 2 — sqrt {5,3} }}{{ — 3,3}}]

  8. NuriShka:

    А вот как мне быть если в знаменателе у меня (1+корень из 2+корень из 3) ?

    • Светлана Иванова:

      [frac{1}{{1 + sqrt 2 + sqrt 3 }} = frac{{1 cdot ((1 + sqrt 2 ) — sqrt 3 )}}{{((1 + sqrt 2 ) + sqrt 3 ) cdot ((1 + sqrt 2 ) — sqrt 3 )}} = ][ = frac{{1 cdot ((1 + sqrt 2 ) — sqrt 3 )}}{{{{(1 + sqrt 2 )}^2} — {{(sqrt 3 )}^2}}} = frac{{1 + sqrt 2 + sqrt 3 }}{{1 + 2sqrt 2 + 2 — 3}} = ][ = frac{{1 + sqrt 2 + sqrt 3 }}{{2sqrt 2 }} = frac{{(1 + sqrt 2 + sqrt 3 ) cdot sqrt 2 }}{{2sqrt 2 cdot sqrt 2 }} = frac{{sqrt 2 + 2 + sqrt 6 }}{4}.]

  9. Каришка:

    Отличный сайт!! Некоторые мелочи не поняла в школе, а сейчас точно прозрела)))
    Ещё, будьте добры, поправьте первый пример после общего случая!) Квадрат упустили в числителе

  10. Рузаль:

    Спасибо, помогли, я все понял))

  11. Рустам:

    Блин спасибо! Долгое время не мог понять эту внеземную тему! Спасибо, что помогли разобраться.

  12. Даниил:

    Спасибо большое, очень сильно помогли)))

  13. Луиза:

    Хороший сайт!Очень помог разобраться!

  14. Кристина:

    Спасибо большое,очень помогли…)

Ваш отзыв

Besucherzahler senior people meet
счетчик для сайта