Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, при решении задачи будет полезен следующий теоретический материал.

1. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, высота трапеции равна полусумме оснований.           

в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны

 

Проведем  через точку C прямую CF, параллельную BD, и продлим прямую AD до пересечения с CF.

 

 

 

диагонали равнобокой трапеции перпендикулярны

    

 

 

 

 

 

 

 

Четырехугольник  BCFD — параллелограмм ( BCDF как основания трапеции, BDCF по построению). Значит, CF=BD, DF=BC и AF=AD+BC.  

Треугольник ACF прямоугольный (если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой прямой). Поскольку в равнобедренной трапеции диагонали равны, а CF=BD, то CF=AC, то есть треугольник ACF — равнобедренный с основанием AF. Значит, его высота CN является также медианой. А так как медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна ее половине, то

    \[CN = \frac{1}{2}AF = \frac{{AD + BC}}{2},\]

что в общем виде можно записать как

    \[h = \frac{{a + b}}{2},\]

где h — высота трапеции, a и b — ее основания.

2. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то ее высота равна средней линии.

Так как средняя линия трапеции m равна полусумме оснований, то

    \[h = m.\]

3. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то площадь трапеции равна квадрату высоты трапеции (или квадрату полусуммы оснований, или квадрату средней линии).

Так как площадь трапеции находится по формуле

    \[S = \frac{{a + b}}{2} \cdot h\]

а высота, полусумма оснований и средняя линия равнобокой трапеции с перпендикулярными диагоналями равны между собой:

    \[h = \frac{{a + b}}{2} = m,\]

то

    \[S = {h^2}\]

    \[S = {(\frac{{a + b}}{2})^2}\]

    \[S = {m^2}.\]

4. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то квадрат ее диагонали равен половине квадрата суммы оснований, а также  удвоенному квадрату высоты и удвоенному квадрату средней линии.

Так как площадь выпуклого четырехугольника можно найти через его диагонали и угол между ними по формуле

    \[S = \frac{1}{2}{d_1}{d_2}\sin \varphi \]

sin 90º =1, и диагонали равнобедренной трапеции равны, то площадь равнобедренной трапеции, диагонали которой взаимно перпендикулярны, равна

    \[S = \frac{1}{2}{d^2}.\]

откуда

    \[\frac{1}{2}{d^2} = {(\frac{{a + b}}{2})^2} = {h^2} = {m^2},\]

    \[{d^2} = \frac{{{{(a + b)}^2}}}{2}.\]

Отзывов (14) , 21 Апр 2013

Отзывов (14) на «В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны»

  1. Алина:

    очень позновательно и интересно! прекрасная статья очень помогла при решении!! спасибо очень благодарна

    • Светлана Иванова:

      Алина, спасибо за теплый отзыв! Я рада, что информация Вам пригодилась. Успехов Вам в учебе!

  2. толик:

    а чё этого нет у нас в книге а то полдня решал и так доказал эту 3 теорему

    • Светлана Иванова:

      Чтобы ученики научились часть материала находить или доказывать самостоятельно :)

  3. Алексеймат.класс:

    И зачем все так усложнять? На какой нам дополнительное построение? Можно доказать, что высота равна полусумме оснований через равнобедренные треугольники, проведя две высоты. К примеру ОН в треугольнике ВОС и ОК в треугольнике АОД. Так, как треугольники прямоугольные и равнобедренные углы по 45 градусов, а значит медианы (они же высоты) будут равняться половинам основаниям, каждая соответственно. А в сумме они и будут давать высоту равную а+b/2….

    • Светлана Иванова:

      Тем и хороша геометрия, что решение одной и той же задачи можно вести разными путями.

  4. Андрей:

    Спасибо за интересную подборку задач!

  5. Ваня:

    спасибо выручили

  6. Евгений:

    действительно, очень полезный сайт! Спасибо Вам огромное! никогда не думал, что из перпендикулярных диагоналей следует столько выводов и формул:)

  7. Ника:

    Спасибо большое, очень полезная статья, полдня мучилась с задачей, думала, какую-то формулу не выучила или что-то ещё. В общем, спасибо! :)

  8. Илья:

    Огромное спасибо :3

  9. Danata:

    Спасибо огромное ,очень помогло!!

  10. ИРИНА:

    Большое спасибо, объяснила внуку и сама получила информацию

  11. Тати:

    Такие штучки в шк не говорят, а ряд задач решить без них оч сложно.
    Спасибо!
    П.С. Где бы найти все useful формулы по геом? Для физ-мата

Ваш отзыв

Besucherzahler senior people meet
счетчик для сайта