Рассмотрим задания, в которых дан график функции y=f(x), отмечены четыре точки и требуется определить, в какой из этих точек значение производной f'(x) наибольшее.

№1

На рисунке изображён график функции y=f(x) и отмечены точки -4, -1, 2 и 4. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе указать эту точку.

v-kakoj-iz-tochek-znachenie-proizvodnoj-naibolsheeРешение:

Точки x=-4 и x=2 принадлежат промежуткам возрастания функции y=f(x), поэтому производная f'(x) в этих точках принимает положительные значения:

f'(-4)>0 и f'(2)>0.

Точки x=-1 и x=4 принадлежат промежуткам убывания функции, поэтому значение производной в этих точках отрицательно:

f'(-1)<0 и f'(4)<0.

Любое положительное число больше любого отрицательного.

Остаётся выяснить, какое из значений больше: f'(-4)или f'(2)?

 

1 способ

Производная характеризует скорость изменения функции. На промежутке, которому принадлежит точка x=-4, функция растёт быстрее, чем на промежутке, где лежит точка x=2.

Следовательно, f'(-4)>f'(2).

Таким образом, из данных четырёх точек наибольшее значение производная достигает в точке x=-4.

 

2 способ

gde-naibolshee-znachenie-proizvodnoj-na-grafike-funkciiЗначение производной функции в точке равно тангенсу угла, который касательная, проведённая в этой точке, составляет с положительным направлением оси Ox.

Проведём касательные в точках x=-4 и x=2.

Касательные образуют с положительным направлением оси абсцисс углы α и β.

Если α12, то tg(α1)>tg(α2).

Так как β>α, то f'(-4)>f'(2).

Ответ: -4.

№2

На рисунке изображён график функции y=f(x) и отмечены точки -7, -4, 7 и 9. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответ указать эту точку.

naibolshee-znachenie-proizvodnoj-na-grafike-funkciiРешение:

x=-4 — точка максимума функции, поэтому f'(-4)=0.

Точка x=9 принадлежит промежутку убывания функции, поэтому f'(9)<0.

Точки x=-7 и x=7 принадлежат промежуткам возрастания функции, поэтому f'(-7)>0 и f'(7)>0.

На промежутке, которому принадлежит точка x=-7, функция возрастает быстрее, чем на промежутке, где находится точка x=7.

Поэтому f'(-7)>f'(7).

Следовательно, значение производной наибольшее в точке x=-7.

Ответ: -7.

Ваш отзыв , 21 Авг 2021

Ваш отзыв