Рассмотрим задания, в которых по данному графику производной функции y=f'(x)нужно найти промежутки возрастания функции y=f(x).
№1
На рисунке изображён график функции y=f'(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-12;9). Найти промежутки возрастания функции f(x). В ответе указать длину наибольшего из них.
Решение:
На промежутках возрастания функции y=f(x) её производная y=f'(x) положительна.
Выделяем промежутки, на которых производная принимает положительные значения (то есть график производной расположен выше оси Ox).
В данном примере таких промежутков два: (-11;-7) и (-2;8). Так как в точках -11, -7, -2 и 8 существует производная f'(x), то функция f(x) непрерывна в этих точках. Поэтому эти точки можно включить в промежутки возрастания и убывания функции. Таким образом, функция f(x) возрастает на промежутках [-11;-7] и [-2;8]. Они имеют длину 4 и 10 единичных отрезков.
Ответ: 10.
№2
Функция f(x) определена на интервале (-10;2). На рисунке изображён график её производной. Найти промежутки возрастания функции f(x). В ответ указать сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
Решение:
На промежутках возрастания функции y=f(x) её производная y=f'(x) положительна: f'(x)>0.
Выделяем промежутки, на которых производная принимает положительные значения. В данном примере таких промежутков два: (-9;-7) и (-3;1). Поскольку в точках -9, -7, -3 и 1 существует производная f'(x), то функция f(x) непрерывна в этих точках, а значит, эти точки можно включить в промежутки возрастания функции f(x).
Итак, функция y=f(x) возрастает на промежутках [-9;-7] и [-2;1].
Ищем сумму целых точек, входящих в эти промежутки:
-9+(-8)+(-7)+(-3)+(-2)+(-1)+0+1=-29.
Ответ: -29.
№3
Функция определена и непрерывна на полуинтервале [-4;6). На рисунке изображён график её производной. Найти промежутки возрастания функции f(x). В ответе указать сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
Решение:
На промежутках возрастания функции y=f(x) её производная f'(x) положительна.
В данном примере производная принимает положительные значения на промежутках (-2;2) и (2;6).
По условию, функция непрерывна на полуинтервале [-4;6). Значит точки -2 и 2, входящие в этот полуинтервал, можно включить в промежутки возрастания. Следовательно, функция y=f(x) возрастает на полуинтервале [-2;6). Ищем сумму целых точек, входящих в промежуток [-2;6):
(-2)+(-1)+0+1+2+3+4+5=12.
Ответ: 12.