Узнать ещё

Чтобы упростить выражение arcsin (x)+arcsin (-x) или arctg (x)+arctg (-x), достаточно помнить всего одно свойство арксинуса (арктангенса).

arcsin(-x)=-arcsin(x), arctg (-x)=-arctg (x). Поэтому

arcsin (x)+arcsin (-x)=arcsin (x)-arcsin (x)=0,

arctg (-x)+arctg (x) = 0.

Значит,

tg(arcsin (x)+arcsin (-x)) = tg 0 = 0,

sin (arcsin (x)+arcsin (-x)) = sin 0 = 0,

cos (arcsin (x)+arcsin (-x)) = cos 0 = 1,

tg (arctg (-x)+arctg (x)) = tg 0 = 0,

sin (arctg (-x)+arctg (x)) = sin 0 = 0,

cos (arctg (-x)+arctg (x)) = cos 0 = 1.

Если нужно построить график функции y=arcsin (-x)+arcsin (x), решение начинаем с нахождения области определения.

Область определения данной функции совпадает с областью определения функции y=arcsin (x):

   

Таким образом, график функции y=arcsin (-x)+arcsin (x) сводится к графику линейной функции y=0 и представляет собой отрезок, лежащий на оси ох с концами в точках х=-1 и х=1:

Графики функций y=sin (arcsin (-x)+arcsin (x)) и y=tg (arcsin (-x)+arcsin (x)) также представляют собой отрезки от x=-1 до x=1, лежащие на оси ox. Хотя при нахождении области определения второй функции учитываем, что тангенс не определен в точках вида

   

ни одна из таких точек не принадлежит отрезку  от -1 до 1.

График функции y=cos(arcsin (-x)+arcsin (x)) — отрезок прямой y=1 с концами в x=-1 и x=1:

arccos (-x)= П-arccos (x), arcctg (-x) = П-arcctg (x).  Поэтому

arccos (-x)+arccos (x) = П-arccos (x)+arccos (x) = П,

arcctg (-x)+arcctg (x) = П-arcctg (x)+arcctg (x)= П.

Значит,

sin (arccos (-x)+arccos (x)) = sin П =0,

cos (arccos (-x)+arccos (x)) = cos П = -1,

tg (arccos (-x) +  arccos (x)) = tg П = 0,

sin (arcctg (-x)+arcctg (x)) = sin П = 0,

cos (arcctg (-x)+arcctg (x)) = cos П = -1,

tg (arcctg (-x)+arcctg (x)) = tg П = 0.

Область определения функции y = arccos (-x)+arccos (x) —

   

График функции представляет собой отрезок от x=-1 до x=1 — часть прямой y = П:

График функции y = arcctg (-x)+arcctg (x) — прямая y= П (область определения арккотангенса — вся числовая прямая):

График функции y= tg(arctg(x)+arctg(-x)) — прямая y=0 (то есть ось ox) с выколотыми точками x=П/2+Пn, где n — целые числа:

График функции y=tg(arcctg(x)+arcctg(-x)) — такая же прямая.

Графики функций y=sin(arctg(x)+arctg(-x)) и y=sin(arcctg(x)+arcctg(-x)) представляют собой прямую y=0 (то есть ось ox).

График функции y=ctg(arcctg(x)+arcctg(-x)) — прямая y=0 с выколотыми точками