Этот математический фокус позволит вам продемонстрировать быстрое сложение нескольких чисел, даже если эти числа многозначные и их немало.
Предложите собеседнику записать числа с одинаковым количеством цифр (количество чисел может быть любым. Чем больше чисел, тем больший эффект произведет фокус). К написанным числам вы приписываете несколько своих чисел и предлагаете сложить все написанные числа. Ответ вы можете назвать сразу же или через несколько секунд — гораздо раньше, чем его вычислит ваш собеседник.
Какие числа для этого следует приписать? Как быстро вычислить сумму?
Показать решение
К каждому записанному числу следует дописывать числа таким образом, чтобы цифры дополняли соответствующие цифры данного числа до 9. Например, к числу 537 следует дописать число 462, к числу 1798 — число 8201. Если количество написанных чисел x, а количество цифр каждого числа — y, то искомую сумму находим по формуле
![Rendered by QuickLaTeX.com \[x({10^y} - 1).\]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-24880e0cc9030325012a12f7c11f3199_l3.png)
В том случае, когда одно из чисел состоит только из девяток, дополнительного числа к нему приписывать не надо.
Как это работает: примеры
1) Если записаны числа 135, 376 и 874. Вы приписываете числа 864, 623 и 125. Пока ваш собеседник подсчитывает сумму 135+376+874+135+376+874, вы быстренько вычисляете 3·(10³-1)=3·1000-3·1=2997.
2) Записанные числа — 12 985, 76 327, 65 432 и 87 640. Вы приписываете числа 87 014, 23 672, 34 567 и 12359. Ваш собеседник считает, чему равна сумма 12 985+76 327+65 432+87 640+87 014+23 672+34 567+12359. (Предложите ему воспользоваться калькулятором. Все равно вы посчитаете быстрее ;)) Тем временем вы демонстрируете быстрое сложение:
![Rendered by QuickLaTeX.com \[4({10^5} - 1) = 4 \cdot 100000 - 4 = 400000 - 4 = 399996.\]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7696fa0b88acb2cedaaa56cf2c565296_l3.png)
Математическое обоснование
Если записаны x чисел вида
![Rendered by QuickLaTeX.com \[{a_1}{a_2}{a_3}...{a_y},\]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-139eb7f9aecef9472f3c5adeaf6ac061_l3.png)
дополняя каждое число числами вида
![Rendered by QuickLaTeX.com \[{b_1}{b_2}{b_3}...{b_y},\]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-559ce6fddaa5d4ced7c19770731fda0f_l3.png)
при сложении каждой такой пары получаем 999…9 x раз. Тогда сумма, которую мы должны вычислить, может быть найдена как 999…9·x. Но
![Rendered by QuickLaTeX.com \[999...9 \cdot x = (100...0 - 1) \cdot x = ({10^y} - 1)x.\]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3928928cff72af52994c461887c308cc_l3.png)