На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой xо. Найти значение производной функции y=f'(x)в точке xо.

najti-znachenie-proizvodnoj-funkcii-v-tochke-x-o№1

 

Решение:

1-й способ

Значение производной y=f'(x) в точке xо равно угловому коэффициенту касательной к графику функции y=f(x) в точке xо:

f'(xо)=k.

 

На графике касательной ищем две выделенные точки с целыми координатами (иногда координаты этих точек уже подписаны):

A(-2;-5), B(6;5).

Уравнение прямой имеет вид y=kx+b.

Так как эта прямая проходит через точки A(-2;-5) и B(6;5), то их координаты удовлетворяют уравнению прямой.

Подставляем координаты A и B в уравнение прямой и из полученной системы уравнений находим k (для этого достаточно одно из уравнений системы умножить на -1 и сложить с другим уравнением).

    \[ \left\{ \begin{array}{l} - 5 = k \cdot ( - 2) + b\_\_\_\left| { \cdot ( - 1)} \right. \\ 5 = k \cdot 6 + b \\ \end{array} \right. \]

    \[ + \frac{{\left\{ \begin{array}{l} 5 = 2k - b \\ 5 = 6k + b \\ \end{array} \right.}}{{10 = 8k}} \]

k=1,25.

Следовательно, f'(xо)=1,25.

Ответ: 1,25.

2-й способnajti-znachenie-proizvodnoj-funkcii-y-f-x-v-tochke-xo

Значение производной y=f'(x) в точке xо равно тангенсу угла, который касательная, проведенная в точке xо, составляет с положительным направлением оси абсцисс:

f'(xо)=tgα.

Построим прямоугольный треугольник с вершинами в точках A и B.

∠BAC=α,

    \[ tg\alpha = tg\angle BAC, \]

    \[ tg\angle BAC = \frac{{BC}}{{AC}} = \frac{{10}}{8} = 1,25. \]

Значит, f'(xо)=1,25.

№2

najti-znachenie-proizvodnoj-funkcii-v-tochke1-й способ:

Точки с выделенными целыми координатами — A(-1;7) и B (7;-2).

Подставляем их координаты в уравнение прямой y=kx+b и находим из полученной системы уравнений коэффициент k:

    \[ \left\{ \begin{array}{l} 7 = k \cdot ( - 1) + b\_\left| { \cdot ( - 1)} \right. \\ - 2 = k \cdot 7 + b \\ \end{array} \right. \]

    \[ + \frac{{\left\{ \begin{array}{l} - 7 = k - b \\ - 2 = 7k + b \\ \end{array} \right.}}{{ - 9 = 8k}} \]

k=-1,125.

f'(xо)=k=-1,125.

2-й способ:

najti-znachenie-proizvodnoj-v-tochkeСтроим прямоугольный треугольник ABC.

    \[ tg\angle ABC = \frac{{AC}}{{BC}}, \]

    \[ tg\angle ABC = \frac{9}{8} = 1,125. \]

tgα=tg(180°-∠ABC)=-tg∠ABC,

tgα=-1,125.

f'(xо)=tgα=-1,125.

Ответ: -1,125.

 

 

 

№3

najti-znachenie-proizvodnoj-funkcii-y-f-x-v-tochke-xoНа рисунке изображен график функции y=f(x). Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой -4. Найдите f'(-4).

Решение:

f'(x)=k.

Так как касательная к графику функции проходит через начало координат, то уравнение касательной имеет вид y=kx.

Касательная проходит через точку (-4;4). Подставив координаты точки в уравнение касательной: 4=k·(-4), получаем k=-1.

Следовательно, f'(x)=-1.

Ответ: -1.

Ваш отзыв , 21 Июн 2021

Ваш отзыв