На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой xо. Найти значение производной функции y=f'(x)в точке xо.
№1
Решение:
1-й способ
Значение производной y=f'(x) в точке xо равно угловому коэффициенту касательной к графику функции y=f(x) в точке xо:
f'(xо)=k.
На графике касательной ищем две выделенные точки с целыми координатами (иногда координаты этих точек уже подписаны):
A(-2;-5), B(6;5).
Уравнение прямой имеет вид y=kx+b.
Так как эта прямая проходит через точки A(-2;-5) и B(6;5), то их координаты удовлетворяют уравнению прямой.
Подставляем координаты A и B в уравнение прямой и из полученной системы уравнений находим k (для этого достаточно одно из уравнений системы умножить на -1 и сложить с другим уравнением).
k=1,25.
Следовательно, f'(xо)=1,25.
Ответ: 1,25.
2-й способ
Значение производной y=f'(x) в точке xо равно тангенсу угла, который касательная, проведенная в точке xо, составляет с положительным направлением оси абсцисс:
f'(xо)=tgα.
Построим прямоугольный треугольник с вершинами в точках A и B.
∠BAC=α,
Значит, f'(xо)=1,25.
№2
1-й способ:
Точки с выделенными целыми координатами — A(-1;7) и B (7;-2).
Подставляем их координаты в уравнение прямой y=kx+b и находим из полученной системы уравнений коэффициент k:
k=-1,125.
f'(xо)=k=-1,125.
2-й способ:
Строим прямоугольный треугольник ABC.
tgα=tg(180°-∠ABC)=-tg∠ABC,
tgα=-1,125.
f'(xо)=tgα=-1,125.
Ответ: -1,125.
№3
На рисунке изображен график функции y=f(x). Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой -4. Найдите f'(-4).
Решение:
f'(x)=k.
Так как касательная к графику функции проходит через начало координат, то уравнение касательной имеет вид y=kx.
Касательная проходит через точку (-4;4). Подставив координаты точки в уравнение касательной: 4=k·(-4), получаем k=-1.
Следовательно, f'(x)=-1.
Ответ: -1.