по сторонам треугольника найти медиану

Чтобы по сторонам треугольника найти медиану, не обязательно запоминать дополнительную формулу. Достаточно знать алгоритм решения.

Для начала рассмотрим задачу в общем виде.

Дан треугольник со сторонами a, b, c. Найти длину медианы, проведенной к стороне b.

AB=a, AC=b, BC=c.

найти медиану треугольника по его сторонам

Решение.

На луче BF отложим отрезок FD, FD=BF.

найти длину медианы треугольника по его сторонам

Соединим точку D с точками A и C.

нахождение медианы треугольника по его сторонам

Четырехугольник ABCD — параллелограмм (по признаку), так как у него диагонали в точке пересечения делятся пополам.

Свойство диагоналей параллелограмма: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.

Отсюда: AC²+BD²=2(AB²+BC²), значит, b²+BD²=2(a²+c²),

BD²=2(a²+c²)-b². По построению, BF — половина BD, следовательно,

$BD = \frac{1}{2}\sqrt {2({a^2} + {c^2}) - {b^2}}$

Это — формула нахождения медианы треугольника по его сторонам. Обычно ее записывают так:

${m_b} = \frac{1}{2}\sqrt {2({a^2} + {c^2}) - {b^2}}$

Переходим к рассмотрению конкретной задачи.

Стороны треугольника равны 13 см, 14 см и 15 см. Найти медиану треугольника, проведенную к его средней по длине стороне.

Решение:

Даны стороны треугольника. Найти медиану

Применяя аналогичные рассуждения, получаем:

AC²+BD²=2(AB²+BC²).

Отсюда

14²+BD²=2(13²+15²)

BD²=2(169+225)-196=592

$BD = \sqrt {592} = \sqrt {16 \cdot 37} = 4\sqrt {37} (cm)$

$BF = \frac{1}{2}DD = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt {37} = 2\sqrt {37} (cm)$

Ответ:

$2\sqrt {37} cm$

Узнать ещё