Конус, вписанный в шар

« Сумма кубов Шар, вписанный в цилиндр »

Конус, вписанный в шар

Решение задач на конус, вписанный в шар (конус, вписанный в сферу) сводится к рассмотрению одного или нескольких треугольников.

Конус вписан в шар, если его вершина и окружность основания лежат на поверхности шара, то есть на сфере. Центр шара лежит на оси конуса.

При решении задач на конус, вписанный в шар, удобно рассматривать сечение комбинации тел плоскостью, проходящей через ось конуса и центр шара. Сечение представляет собой большой круг шара (то есть круг, радиус которого равен радиусу шара) с вписанным в него равнобедренным треугольником — осевым сечением конуса. Боковые стороны этого треугольника — образующие конуса, основание — диаметр конуса.

Если угол между образующими острый, центр описанного круга лежит внутри треугольника (соответственно, центр описанного около конуса шара — внутри конуса).

Если угол между образующими прямой, центр круга лежит на середине основания треугольника (центр шара совпадает с центром основания конуса).

Если угол между образующими тупой, центр круга лежит вне треугольника (центр описанного шара — вне конуса).

Если в условии задачи не сказано, где именно лежит центр описанного шара, желательно рассмотреть, как могут повлиять на решение различные варианты его расположения.

Рассмотрим конуса и описанного около него шара плоскостью, проходящей через ось конуса и центр шара. Здесь SO=H — высота конуса, SB=l — образующая конуса,SO1=O1B=R — радиус шара, OB=r — радиус основания конуса, ∠OSB=α — угол между высотой и образующей конуса.

Треугольник SO1B — равнобедренный с основанием SB (так как SO1=O1B=R). Значит, у него углы при основании равны: ∠OSB=∠O1BS=α, и O1F — медиана, высота и биссектриса. Отсюда SF=l/2.

При решении задач на конус, вписанный в шар, можно рассмотреть прямоугольные треугольники SFO1 и SOB. Они подобны (по острому углу S). Из подобия треугольников

$\frac{{SF}}{{SO}} = \frac{{S{O_1}}}{{SB}} = \frac{{F{O_1}}}{{OB}}.$

$\frac{{\frac{l}{2}}}{H} = \frac{R}{l}, \Rightarrow \frac{l}{{2H}} = \frac{R}{l}, \Rightarrow {l^2} = 2HR.$

В прямоугольном треугольнике SOB ∠OBS=90º — ∠OSB=90º-α. По теореме Пифагора

$S{B^2} = S{O^2} + O{B^2}, \Rightarrow {l^2} = {H^2} + {r^2}.$

В прямоугольном треугольнике O1OB ∠OBO1=90º — ∠O1BS=90º — α — α=90º — 2α.

$OB = {O_1}B \cdot \cos \angle OB{O_1}$

$OB = R\cdot\cos ({90^o} - 2\alpha ) = R\cdot\sin 2\alpha , \Rightarrow$

$r = R\cdot\sin 2\alpha .$

Если продлить SO до пересечения с окружностью, получим прямоугольный треугольник SBM (∠SBM=90º как вписанный угол, опирающийся на диаметр SM). В нем BO- высота, проведенная к гипотенузе. По свойствам прямоугольного треугольника