« »

Рубрика: Из ЕГЭ

На доске написано более 35, но менее 49 целых чисел

Задача

На доске написано более 35, но менее 49 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно 5, среднее арифметическое всех положительных из них равно 14, среднее арифметическое всех отрицательных из них равно -7.

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

Решение:

а)Пусть на доске написано n чисел. По условию, 35<n<49.

Обозначим сумму всех этих n чисел через

    \[ \sum\limits_{i = 1}^n {a_i } \]

Их среднее арифметическое равно

    \[ \frac{{\sum\limits_{i = 1}^n {a_i } }}{n} = 5, \Rightarrow \sum\limits_{i = 1}^n {a_i } = 5n. \]

Пусть среди этих n чисел l положительных, k отрицательных и m нулей.

Так как среднее арифметическое всех положительных из этих чисел равно 14, то

    \[ \frac{{\sum\limits_{i = 1}^l {a_i } }}{l} = 14, \Rightarrow \sum\limits_{i = 1}^l {a_i } = 14l. \]

Среднее арифметическое всех отрицательных из этих чисел равно -7, поэтому

    \[ \frac{{\sum\limits_{i = 1}^k {a_i } }}{k} = - 7, \Rightarrow \sum\limits_{i = 1}^k {a_i } = - 7k. \]

Сумма  всех n чисел равна сумме всех положительных, отрицательных чисел и нулей:

    \[ \sum\limits_{i = 1}^n {a_i } = \sum\limits_{i = 1}^l {a_i } + \sum\limits_{i = 1}^k {a_i } + \sum\limits_{i = 1}^m {0_i } ,\]

следовательно,

    \[ 5n = 14l - 7k,\]

    \[n = \frac{{14l - 7k}}{5}.\]

Из условия 35<n<49

    \[35 \le \frac{{14l - 7k}}{5} \le 49\]

Разделив почленно на 7 все части неравенства, получим

    \[5 \le \frac{{2l - k}}{5} \le 7\]

Этому условию удовлетворяет единственное натуральное значение 6, то есть

    \[\frac{{2l - k}}{5} = 6.\]

Отсюда

    \[n = \frac{{14l - 7k}}{5} = 7 \cdot \frac{{2l - k}}{5} = 7 \cdot 6 = 42.\]

а) Ответ: 42.

б)В условия

    \[ \left\{ \begin{array}{l} l + k + m = n, \\ 14l - 7k = 5n, \\ \end{array} \right. \]

подставляем n=42:

    \[ \left\{ \begin{array}{l} l + k + m = 42, \\ 14l - 7k = 210, \\ \end{array} \right. \]

Умножим первое уравнение системы на 7 и сложим со вторым:

    \[ + \frac{{\left\{ \begin{array}{l} 7l + 7k + 7m = 294, \\ 14l - 7k = 210, \\ \end{array} \right.}}{{21l + 7m = 504,}} \]

откуда

    \[3l + m = 72,l = \frac{{72 - m}}{3} = 24 - \frac{m}{3}.\]

Подставим это выражение в уравнение l+k+m=42:

    \[ k = 18 - \frac{{2m}}{3}. \]

Таким образом,

    \[ l - k = (24 - \frac{m}{3}) - (18 - \frac{{2m}}{3}) = 6 + \frac{m}{3} > 0, \]

так как m>0. Значит l>k, то есть количество положительных чисел больше.

б) Ответ: положительных.

в) Выражение

    \[ l = 24 - \frac{m}{3} \]

принимает наибольшее значение при наименьшем значении m. Наименьшее значение m=0, следовательно, наибольшее количество положительных чисел l=24-0=24.

в) Ответ: 24.

Ваш отзыв , 12 Янв 2019

Ваш отзыв