« »

Рубрика: Легкое решение

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник

Если в задаче дана окружность, вписанная в прямоугольный треугольник, то ее решение может быть связано со свойством отрезков касательных, проведенных из одной точки, и теоремой Пифагора.

Кроме того, следует учесть, что радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляется по формуле

    \[r = \frac{{a + b - c}}{2},\]

где a и b — длины катетов, c — гипотенузы.

Рассмотрим две задачи на вписанную в прямоугольный треугольник окружность.

Задача 1.

Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делит гипотенузу на отрезки 4 см и 6 см. Найти периметр и площадь треугольника и радиус окружности.

окружность вписана в прямоугольный треугольникДано: ∆ ABC, ∠C=90º,

окружность (O, r) — вписанная,

K, M, F — точки касания со сторонами AC, AB, BC,

BM=4 см, AM=6 см.

Найти:

    \[{P_{\Delta ABC,}}{S_{\Delta ABC}},r.\]

Решение:

1) По свойству отрезков касательных, проведенных из одной точки,

окружность, вписанная к прямоугольный треугольникAK=AM=6 см,

BF=BM=4 см,

CK=CF=x см.

2) AB=AM+BM=6+4=10 см,

AC=AK+CK=(6+x) см,

BC=BF+CF=(4+x) см.

3) По теореме Пифагора:

    \[A{C^2} + B{C^2} = A{B^2}\]

    \[{(6 + x)^2} + {(4 + x)^2} = {10^2}\]

    \[36 + 12x + {x^2} + 16 + 8x + {x^2} = 100\]

    \[2{x^2} + 20x - 48 = 0\]

    \[{x^2} + 10x - 24 = 0\]

По теореме Виета,

    \[{x_1} = 2,{x_2} = - 12.\]

Второй корень не подходит по смыслу задачи. Значит, CK+CF=2 см, AC=8 см, BC=6 см.

4)

    \[{P_{\Delta ABC}} = AB + AC + BC,\]

    \[{P_{\Delta ABC}} = 10 + 8 + 6 = 24(cm),\]

    \[{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AC \cdot BC,\]

    \[{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24(c{m^2}),\]

    \[r = \frac{{AC + BC - AB}}{2},\]

    \[r = \frac{{8 + 6 - 10}}{2} = 2(cm).\]

Ответ: 24 см, 24 см², 2 см.

Задача 2.

Найти площадь прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 26 см, а радиус вписанной окружности — 4 см.

радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольникДано:∆ ABC, ∠C=90º,

окружность (O, r) — вписанная,

K, M, F — точки касания со сторонами AC, AB, BC,

AB=26 см, r=4 см.

Найти:

    \[{S_{\Delta ABC}}\]

Решение:

1) Проведем отрезки OK и OF.

вписанная в прямоугольный треугольник окружность

    \[OK \bot AC,OF \bot BC\]

(как радиусы, проведенные в точки касания).

Четырехугольник OKCF — прямоугольник (так как у него все углы — прямые).

А так как OK=OF (как радиусы), то OKCF — квадрат.

2) По свойству касательных, проведенных из одной точки,

AM=AK=x см,

BF=BM=(26-x) см,

CF=CK=r=4 см.

3) AC=AK+KC=(x+4) см, BC=BF+CF=26-x+4=(30-x) см.

По теореме Пифагора,

    \[A{C^2} + B{C^2} = A{B^2}\]

    \[{(x + 4)^2} + {(30 - x)^2} = {26^2}\]

    \[{x^2} + 8x + 16 + 900 - 60x + {x^2} = 676\]

    \[2{x^2} - 52x + 240 = 0\]

    \[{x^2} - 26x + 120 = 0\]

    \[{x_1} = 20,{x_2} = 6.\]

Если AM=20 см, то AC=24 см, BC=10 см.

Если AM=6 см, то AC=10 см, BC=24 см.

    \[4){S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AC \cdot BC,\]

    \[{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 10 = 120(c{m^2}).\]

Ответ: 120 см².

12 комментариев , 06 Авг 2014

12 комментариев на «Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник»

  1. Аннет:
    25.11.2014 в 3:14 пп

    Очень полезная информация!Спасибо

    Ответить
  2. Воха:
    04.06.2015 в 10:58 пп

    Агромаднейший респект! Решил пару задач, нерешаемых на первый взгляд, класс!!!

    Ответить
  3. Егор:
    17.01.2016 в 5:41 пп

    Можно решить вторую задачу в одно действие: зная формулу площади через гипотенузу и радиус вписанной окружности: S=r^2+rc, где r-радиус и с-гипотенуза. S=4^2+4*26=16+104=120.

    Ответить
    • Светлана Иванова:
      14.04.2016 в 12:09 пп

      Можно. Но тогда следует предварительно доказать эту формулу.

      Ответить
      • Анастасия:
        12.09.2018 в 2:13 дп

        распишите, пожалуйста, доказательство формулы S=r^2+rc (S=r(r+c) )

        Ответить
        • Светлана Иванова:
          13.09.2018 в 10:59 дп

          Используем известную формулу нахождения площади через радиус вписанной окружности S=pr, где p — полупериметр треугольника, то есть p=(a+b+c)/2.
          S=pr=r(a+b+c)/2=r(a+b-c+2c)/2=r((a+b-c)/2+2c/2)=r(r+c).

          Ответить
  4. оля:
    25.02.2018 в 6:56 пп

    расскажите причину утверждения «радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляется по формуле» ( сумма катетов минус гипотенуза пополам)

    Ответить
  5. Александр:
    01.08.2018 в 8:16 дп

    А как найти параметры треугольника прямоугольного равнобедренного если дан только радиус вписанной окружности?Без синусов и других функций?

    Ответить
    • Светлана Иванова:
      01.08.2018 в 9:00 дп

      Пусть катеты равны х. Тогда гипотенуза — х√2. Отсюда r=(x+x-x√2)/2, x=2r/(2-√2) или x=r(2+√2).

      Ответить
  6. Александр:
    02.08.2018 в 8:35 пп

    Благодарю!Приблизительно х=3.4r.

    Ответить
    • Светлана Иванова:
      03.08.2018 в 9:01 дп

      Да. Но, как правило, ответ записывают в виде точных значений (пусть и с иррациональностью). Приближенные значения используют, если результат нужен в ходе решения практических задач.

      Ответить

Ваш отзыв