Предложите кому-либо задумать некоторое двузначное число. Затем попросите разделить задуманное число на 3, на 5 и на 7, и назвать вам остатки от деления. После этого вы сможете отгадать задуманное число, точнее, его вычислить. Как это сделать?
Показать решение
Остаток от деления на 3 надо умножить на 70, остаток от деления на на 5 — умножить на 21, а остаток от деления на 7 — умножить на 15. Затем полученные суммы складываем и делим на 105. Полученный при делении остаток — задуманное число.
Например, задуманное двузначное число — 58. Тогда остаток от деления на 3 равен 1, на 5 — 3 на 7 — 2. Имеем: 1·70+3·21+2·15=163. Делим 163 на 105, получаем 1, остаток — 58 (то есть, задуманное число).
Математическое обоснование.
если p, q и r — остатки от деления задуманного числа x на 3, 5 и 7, то разность (70p+21q+15r)-x делится и на 3, и на 5, и на 7, так как
(70p+21q+15r)-x=(69p+p+21q+15r)-x=(69p+21q+15r)-x+p=3(23p+7q+5r)-(x-p);
(70p+21q+15r)-x=(70p+20q+q+15r)-x=5(14p+4q+3r)-(x-q)
(70p+21q+15r)-x=(70p+21q+14r+r)-x=7(7p+3q+2r)-(x-r).
А значит, эта разность делится и на произведение 3·5·7=105. А так как загадывали двузначное число, то x<105. Поэтому x равен остатку от деления (70p+21q+15r) на 105.