Рассмотрим одну из базовых задач планиметрии — биссектриса угла параллелограмма делит противолежащую сторону на отрезки.

Утверждение.

Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

биссектриса угла параллелограмма

Пусть биссектриса угла A параллелограмма ABCD делит противолежащую сторону на отрезки BF=m, FC=n. Тогда:

 

 

 

 

биссектриса острого угла параллелограмма 1)∠BAF=∠FAD

(так как AF — биссектриса угла A по условию);

2) BFA=FAD (как внутренние накрест лежащие при AD BC и секущей AF);

3) следовательно, BAF=BFA;

4) следовательно, треугольник ABF — равнобедренный (по признаку);

5) следовательно, AB=BF=m.

Этот рисунок иллюстрирует случай, когда дана биссектриса острого угла параллелограмма.

Если в задаче сказано, что биссектриса тупого угла параллелограмма делит сторону на отрезки, рассуждения аналогичны.

биссектриса тупого угла параллелограмма

 

 

 


 

На базе этой задачи существует много других задач. Например: биссектриса угла A параллелограмма ABCD делит противолежащую сторону BC на отрезки BF=m, FC=n. Найти периметр параллелограмма.

После доказательства того, что AB=BF=m, нахождение периметра не вызывает затруднений: P=2(AB+BC)=2(m+m+n).

Отзывов (4) , 10 Май 2013

Отзывов (4) на «Биссектриса параллелограмма»

  1. блюма:

    Замечательно! Просто и доходчиво:-)

  2. Айгуль:

    Как найти FC?

    • Светлана Иванова:

      FC=BC-BF, а так как BF=AB, то FC=BC-AB.
      Таким образом, биссектриса угла параллелограмма делит противоположную сторону на два отрезка, один из которых равен второй стороне параллелограмма, а другой — разности длин сторон параллелограмма.

Ваш отзыв

Besucherzahler senior people meet
счетчик для сайта