Задачи на работу связывают производительность труда, время работы и объем работы соотношением

формула производительности труда

Рассмотрим типичные задачи на работу из курса алгебры 8-9 классов.  Как и в задачах на планирование и грузоперевозки, условие многих задач на работу удобно оформлять с помощью таблицы, а решение — через систему уравнений. В этом случае решение сводится к квадратному уравнению, решить которое проще, чем дробное рациональное.

1) Одна бригада должна была изготовить 120 деталей, а другая — 144 детали. Первая бригада изготовляла ежечасно на 4 детали больше, чем вторая, и работала на 3 часа меньше второй. Сколько деталей в час изготовляла каждая бригада?

Решение:

Пусть первая бригада изготовляла x деталей в час и работала y часов.

Производительность

труда

Время

работы

Объем

работы

I бригада

x

y

120

II бригада

x-4

y+3

144

Составим и решим систему уравнений:

    \[\left\{ \begin{array}{l}xy = 120\\(x - 4)(y + 3) = 144\end{array} \right.\]

Раскрываем скобки во втором уравнении. Из первого уравнения xy=120. Подставляем во второе уравнение:

    \[\left\{ \begin{array}{l}xy = 120\\xy - 4y + 3x - 12 = 144\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy = 120\\120 - 4y + 3x - 12 = 144\end{array} \right.\]

После упрощения второе уравнение стало линейным. Выражаем из него x через y и подставляем полученное выражение в первое уравнение:

    \[ - 4y + 3x - 36 = 0, \Rightarrow x = \frac{{4y + 36}}{3}\]

    \[\begin{array}{l}y(\frac{{4y + 36}}{3}) = 120, \Rightarrow 4{y^2} + 36y = 360, \Rightarrow {y^2} + 9y - 90 = 0.\\{y_1} = 6,{y_2} =  - 15.\end{array}\]

Второй корень — посторонний (так как время не может выражаться отрицательным числом). Значит, I бригада изготовляла

    \[x = \frac{{4y + 36}}{3} = \frac{{4 \cdot 6 + 36}}{3} = 20\]

деталей в час, а II — x-4=20-4=16 деталей в час.

Ответ: 20 деталей в час и 16 деталей в час.

2) Двое рабочих должны были изготовить по 1000 деталей. Первый рабочий каждый день делал на 5 деталей больше, чем второй, и выполнил задание на 10 дней раньше. Сколько дней работал каждый рабочий?

Решение:

Пусть I рабочий делал x деталей в день и работал y дней.

Производительность

труда

Время

работы

Объем

работы

I рабочий

x

y

1000

II рабочий

x-5

y+10

1000

Составим и решим систему уравнений:

    \[\left\{ \begin{array}{l}xy = 1000\\(x - 5)(y + 10) = 1000\end{array} \right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{l}xy = 1000\\xy - 5y + 10x - 50 = 1000\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy = 1000\\1000 - 5y + 10x - 50 = 1000\end{array} \right.\]

Из второго уравнения выразим y через x:

    \[ - 5y + 10x - 50 = 0, \Rightarrow 5y = 10x - 50, \Rightarrow y = 2x - 10.\]

Подставляем полученное выражение в первое уравнение:

    \[x(2x - 10) = 1000, \Rightarrow 2{x^2} - 10y = 1000, \Rightarrow {x^2} - 5x - 500 = 0\]

    \[{x_1} = 25,{x_2} =  - 20.\]

Второй корень не подходит по смыслу задачи. Значит, I рабочий работал y=2x-10=225-10=40 дней, а II — y+10=40+10=50 дней.

Ответ: 40 дней и 50 дней.

В следующий раз рассмотрим задачи на работу,  решение которых ведется иначе.

 

Ваш отзыв , 06 Май 2013

Ваш отзыв

Besucherzahler senior people meet
счетчик для сайта