Если диагонали трапеции перпендикулярны, решить задачу поможет дополнительное построение.
Проведем через вершину меньшего основания прямую, параллельную диагонали: CF∥BD:
Четырехугольник BCFD — параллелограмм, так как у него противоположные стороны лежат на параллельных прямых (CF∥BD по построению, BC∥AD как основания трапеции). Следовательно, DF=BC, CF=BD.
Так как диагонали трапеции перпендикулярны, прямые CF и AC также перпендикулярны (если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой). Проведем высоту трапеции CN:
В прямоугольном треугольнике ACF CN — высота, проведенная к гипотенузе. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике связаны соотношениями:
Площадь трапеции можно найти по одной из формул
где a и b — основания, h — высота, m — средняя линия трапеции. Площадь выпуклого четырехугольника можно найти как половину произведения диагоналей на синус угла между ними:
Поскольку sin90º=1, если диагонали перпендикулярны, площадь трапеции равна
Отсюда
и, в зависимости от условий задачи, можно искать ту или иную величину.
Можно рассуждать иначе: площадь прямоугольного треугольника ACF можно найти как
Отсюда
В следующий раз рассмотрим частный случай: диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны.
Спасибо, очень полезная информация, которая выручила меня прямо сейчас!
Огромное спасибо. Все четко, доступно, математически красиво.
Спасибо большое!
Спасибо, интересно.