Узнать ещё

Если диагонали трапеции перпендикулярны, решить задачу поможет дополнительное построение.

 

 

 

 

 

 

Проведем через вершину меньшего основания прямую, параллельную диагонали: CF∥BD:

 

 

 

 

 

 

Четырехугольник BCFD — параллелограмм, так как у него противоположные стороны лежат на параллельных прямых (CF∥BD по построению, BC∥AD как основания трапеции). Следовательно, DF=BC, CF=BD.

Так как диагонали трапеции перпендикулярны, прямые CF и AC  также перпендикулярны (если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой). Проведем высоту трапеции CN:

 

 

 

 

 

 

В прямоугольном треугольнике ACF CN — высота, проведенная к гипотенузе.  Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике связаны соотношениями:

   

   

   

Площадь трапеции можно найти по одной из формул

   

   

где a и b — основания, h — высота, m  — средняя линия трапеции. Площадь выпуклого четырехугольника можно найти как половину произведения диагоналей на синус угла между ними:

   

Поскольку sin90º=1, если диагонали перпендикулярны, площадь трапеции равна

   

Отсюда

   

и, в зависимости от условий задачи, можно искать ту или иную величину.

Можно рассуждать иначе: площадь прямоугольного треугольника ACF можно найти как

   

   

Отсюда

   

   

В следующий раз рассмотрим частный случай: диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны.