Существует необычный способ вычислить корень 5 степени в тех случаях, когда ответ — целое число.
Чтобы вычислить корень 5 степени из числа, надо это число (стоящее под знаком корня) представить в виде суммы нескольких идущих подряд нечетных чисел. А корень пятой степени равен количеству слагаемых в разложении.
Рассмотрим, как вычислить корень 5 степени, на конкретных примерах:
![\[\begin{array}{*{20}{l}} {\sqrt[5]{1} = 1} \\ {\sqrt[5]{{32}} = \sqrt[5]{{15 + 17}} = 2} \\ {\sqrt[5]{{243}} = \sqrt[5]{{79 + 81 + 83}} = 3} \\ {\sqrt[5]{{1024}} = \sqrt[5]{{253 + 255 + 257 + 259}} = 4} \\ {\sqrt[5]{{3125}} = \sqrt[5]{{621 + 623 + 625 + 627 + 629}} = 5} \\ \begin{gathered} \sqrt[5]{{7776}} = \sqrt[5]{{1291 + 1293 + 1295 + 1297 + 1299 + 1301}} = 6 \hfill \\ \sqrt[5]{{16807}} = \sqrt[5]{{2395 + 2397 + 2399 + 2401 + 2403 + 2405 + 2407}} = 7 \hfill \\ \end{gathered} \end{array}\]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0fa0c5b19c93f84097685c8baf685249_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
В отличие от корней второй и третьей степени, в которых разложение начинается с 1, вычисление этим способом корней более высоких степеней, в том числе корня 5 степени, осложняется тем, что первое слагаемое в разложении нужно находить специальным образом. Для корня 5 степени первое слагаемое в разложении находится по правилу:
![\[{n^4} - (n - 1),\]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-91e77d75a2cf531f48a6778ff771ccf7_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
где n — порядковый номер строки.