Узнать ещё

Рассмотрим задания из №7 ЕГЭ, в которых данная прямая параллельна касательной к графику функции.

№1

Прямая y=9x+5 параллельна касательной к графику функции y=x²-5x+54. Найти абсциссу точки касания.

Решение:

Прямые y=k₁x+b₁ y=k₂x+b₂ параллельны,если их угловые коэффициенты равны: k₁=k₂.

y=9x+5, отсюда k₁=9.

Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания: k₂=f'(x_o).

f'(x)=(x²-5x+54)’=2x-5;

f'(x_o)=2x_o-5.

Таким образом, 2x_o-5=9; 2x_o=14; x_o=7.

Ответ: 7.

№2

Прямая y=14-2x является касательной к графику функции y=x³+1,5x²-8x+4. Найти абсциссу точки касания.

Решение:

Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания: k=f'(x_o).

f'(x)=(x³+1,5x²-8x+4)’=3x²+3x-8;

f'(x_o)=3x_o²+3x_o-8.

По условию, y=14-2x. Отсюда k=-2.

3x_o²+3x_o-8=-2

3x_o²+3x_o-6=0

x_o²+x_o-2=0

x_o=1 либо x_o=-2.

Точка касания принадлежит и касательной, и графику функции.

x_o³+1,5x_o²-8x_o+4=14-2x_o.

Проверяем, выполняется ли равенство при x_o=1:

1³+1,5·1²-8·1+4=14-2·1?

-1,5≠12.

При x_o=-2:

(-2)³+1,5·(-2)²-8·(-2)+4=14-2·(-2)

18=18.

Абсцисса точки касания равна x_o=-2.

Ответ: -2.

№3

Прямая y=11x+8 является касательной к графику функции y=ax²+7x-2. Найти a.

Решение:

Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания: k=f'(x_o).

f'(x)=(ax²+7x-2)’=2ax+7;

f'(x_o)=2ax_o+7.

По условию, уравнение касательной y=5x+1, поэтому k=5.

Имеем: 2ax_o+7=11, откуда ax_o=2.

Точка касания принадлежит и касательной, и графику функции, поэтому

ax_o²+7x_o-2=11x_o+8. Подставив в это равенство ax_o=2, получим

2x_o+7x_o-2=11x_o+8, откуда x_o=-5.

ax_o=2

-5_a=2

a=-0,4.

Ответ: 0,4.

№4

Прямая y=-6x+7 является касательной к графику функции y=6x²+bx+13. Найти b, учитывая, что абсцисса точки касания меньше 0.

Решение:

Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания: k=f'(x_o).

f'(x)=(6x²+bx+13)’=12x+b;

f'(x_o)=12x_o+b.

По условию, уравнение касательной y=-6x+7, поэтому k=-6.

Имеем: 12x_o+b=-6, откуда b=-12x_o-6.

Точка касания принадлежит и касательной, и графику функции.

6x_o²+bx_o+13=-6x_o+7

6x_o²+(-12x_o-6)x_o+13=-6x_o+7

6x_o²-12x_o²-6x_o+13+6x_o-7=0

-6x_o²+6=0

x_o=1 либо x_o=-1.

По условию, x_o<0, следовательно, x_o=-1.

b=-12·(-1)-6=6.

Ответ: 6.

№5

Прямая y=2x+4 является касательной к графику функции y=x²-4x+c. Найти c.

Решение:

Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания: k=f'(x_o).

f'(x)=(x²-6x+c)’=2x-6;

f'(x_o)=2x_o-6.

По условию, уравнение касательной y=2x+4, поэтому k=2.

Имеем: 2x_o-6=2, откуда x_o=4.

Точка касания принадлежит и касательной, и графику функции, поэтому

x_o²-4x_o+с=2x_o+4. Подставив в это равенство x_o=4, получим

16-16+с=8+4

с=12.

Ответ: 12.