Рассмотрим базовые задачи на подобные треугольники в трапеции.

I. Точка пересечения диагоналей трапеции  — вершина подобных треугольников.

диагонали трапеции пересекаются и образуют треугольники

 

 

 

 

Рассмотрим треугольники AOD и COB.

подобные треугольники в трапеции при пересечении диагоналей

Визуализация облегчает  решение задач на подобие. Поэтому подобные треугольники в трапеции выделим разными цветами.

1) ∠AOD=COB (как вертикальные);

2)∠DAO=BCO (как внутренние накрест лежащие при AD BC и секущей AC).

Следовательно, треугольники AOD и COB подобны (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

    \[\frac{{AD}}{{BC}} = \frac{{DO}}{{BO}} = \frac{{AO}}{{CO}}.\]

Задача.

Одна из диагоналей трапеции равна 28 см и делит другую диагональ на отрезки длиной 5 см и 9 см. Найти отрезки, на которые точка пересечения диагоналей делит первую диагональ.

Решение:

AO=9 см, CO=5 см, BD=28 см. BO =?, DO- ?

Доказываем подобие треугольников AOD и COB. Отсюда

    \[\frac{{AD}}{{BC}} = \frac{{DO}}{{BO}} = \frac{{AO}}{{CO}}.\]

Выбираем нужные отношения:

    \[\frac{{DO}}{{BO}} = \frac{{AO}}{{CO}}.\]

Пусть BO=x см, тогда DO=28-x см. Следовательно,

    \[\frac{{28 - x}}{x} = \frac{9}{5}\]

    \[9x = 5(28 - x)\]

    \[9x + 5x = 140\]

    \[x = 10\]

BO=10 см, DO=28-10=18 см.

Ответ: 10 см, 18 см.

 Задача

Известно, что О — точка пересечения диагоналей трапеции ABCD (AD  BC). Найти длину отрезка BO, если AO:OC=7:6 и BD=39 см.

Решение:

Аналогичн0, доказываем подобие треугольников AOD и COB и

    \[\frac{{DO}}{{BO}} = \frac{{AO}}{{CO}}.\]

Пусть BO=x см, тогда DO=39-x см. Таким образом,

    \[\frac{{39 - x}}{x} = \frac{7}{6}\]

    \[7x = 6(39 - x)\]

    \[x = 18\]

Ответ: 18 см.

II. Продолжения боковых сторон трапеции пересекаются в точке.

продолжения боковых сторон трапеции пересекаются в точке

Аналогично задаче I, рассмотрим треугольники AFD и BFC:

1) F — общий;

2) DAF=CBF (как соответственные углы при BCAD и секущей AF).

Следовательно, треугольники AFD и BFC подобны (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

    \[\frac{{AD}}{{BC}} = \frac{{AF}}{{BF}} = \frac{{DF}}{{CF}}.\]

Задача

Продолжения боковых сторон AB и CD  трапеции ABCD пересекаются в точке F. Меньшее основание BC равно 4 см, BF=5 см, AB=15 см. Найти большее основание трапеции.

Решение:

Доказываем, треугольники AFD и BFC — подобны.

Следовательно,

    \[\frac{{AD}}{{BC}} = \frac{{AF}}{{BF}},\]

    \[AF = AB + BF = 15 + 5 = 20cm,\]

    \[\frac{{AD}}{4} = \frac{{20}}{5}\]

    \[5AD = 80\]

    \[AD = 16\]

Ответ: 16 см.

В следующий раз рассмотрим задачи на отношение площадей подобных треугольников.

 

 

Ваш отзыв , 02 Дек 2013

Ваш отзыв

Besucherzahler senior people meet
счетчик для сайта