« »

Рубрика: Легкое решение

sin (2 arctg x)

Чтобы найти sin (2 arctg x), воспользуемся формулой синуса двойного угла.  По формуле  sin 2α = 2sinαcosα имеем:  sin (2 arctg x) = 2sin(arctg x)cos(arctg x). Как найти sin(arctg x) и cos(arctg x), рассматривали ранее.

Примеры.

1) Найти sin (2 arctg 3).

Решение:

sin (2 arctg 3)=2sin(arctg 3)cos(arctg 3).

 

найти sin (2 artсg x)По определению арктангенса, арктангенс альфа — это такое число, тангенс которого равен альфа. Значит, arctg 3 — это число, тангенс которого равен 3. В прямоугольном треугольнике тангенс — это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Таким образом, в нашем примере

    \[tg\alpha = \frac{3}{1}\]

Нам нужен синус этого же угла альфа. Так как синус — отношение противолежащего катета к гипотенузе, находим по теореме Пифагора гипотенузу

    \[\sqrt {{3^2} + {1^2}} = \sqrt {10} ,\]

затем — синус:

    \[\sin \alpha = \frac{3}{{\sqrt {10} }}.\]

Косинус — это отношение прилежащего катета к гипотенузе, отсюда

    \[\cos \alpha = \frac{1}{{\sqrt {10} }}.\]

Таким образом,

    \[\sin (2arctg3) = 2 \cdot \frac{3}{{\sqrt {10} }} \cdot \frac{1}{{\sqrt {10} }} = \frac{{2 \cdot 3}}{{10}} = \frac{3}{5}.\]

2) Найти sin (2 arctg 1/2).

Решение:

 sin (2 arctg 1/2)=2sin(arctg 1/2)cos(arctg 1/2).

sin (2 arctg 1/2)

    \[\sin (arctg\frac{1}{2}) = \frac{1}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 5 }},\]

    \[\cos (arctg\frac{1}{2}) = \frac{2}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }},\]

    \[\sin (2arctg\frac{1}{2}) = 2 \cdot \frac{1}{{\sqrt 5 }} \cdot \frac{2}{{\sqrt 5 }} = \frac{{2 \cdot 2}}{5} = \frac{4}{5}.\]

Ваш отзыв , 27 Июл 2013

Ваш отзыв