По графику производной y= f ‘ (x) можно не только исследовать поведение функции y=f(x) , но и попытаться построить ее график.
Поскольку для одной функции первообразных существует бесконечное множество, график функции по графику производной можно построить лишь схематично: точки экстремума и промежутки возрастания и убывания функции определить можно, а нули функции и экстремумы — нет.
Дан график производной: y= f ‘ (x):
Построить график функции y=f(x).
Решение:
Точки x=x2, x=x3, x=x4, в которых производная y= f ‘ (x) обращается в нуль — это точки экстремума функции y=f(x).
В точках x=x2 и x=x4 производная меняет знак с «-«на «+», поэтому x2 и x=x4 — точки минимума функции y=f(x).
В точке x=x3 производная меняет знак с «+» на «-«, поэтому x=x3 — точка максимума функции.
На промежутках [x1;x2] и [x3;x4] f ‘ (x)<0, поэтому y=f(x) на этих промежутках убывает.
На промежутках [x2;x3] и [x4;x5] f ‘ (x)>0, поэтому для y=f(x) они являются промежутками возрастания.
Сказать что-то более определенное о нулях и других значениях функции y=f(x) не получится. Данный эскиз графика y=f(x) — один из множества графиков первообразных для функции y= f ‘ (x). Другие могут быть получены из него параллельным переносом вдоль оси oy.
Если график производной y= f ‘ (x) представляет собой прямую, параллельную оси ox (y=b, где b- число),, то функция y=f(x) — линейная. Она является возрастающей, если b>0, убывающей, если b<0, и постоянной, если b=0.
