Узнать ещё

Чтобы найти наибольшее значение тригонометрического выражения, во многих случаях достаточно знать область значений синуса, косинуса, тангенса, котангенса и свойства  неравенств.

Примеры.

Найти наибольшее значение выражения:

   

Решение:

Область допустимых значений данного выражения — вся числовая прямая:

ОДЗ: α∈(-∞; ∞).

Область значений косинуса — промежуток [-1;1]. Для оценки значений удобнее использовать двойное неравенство:

   

Умножаем неравенство почленно на 7. При умножении на положительное число знаки неравенства не изменяются:

   

   

Затем прибавляем почленно 5:

   

   

Таким образом, наибольшее значением выражения равно 12 (наименьшее — -2, область значений — [-2:12]).

   

Решение: ОДЗ: φ∈ (-∞; ∞).

Область значений синуса — промежуток [-1;1] или

   

При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

   

   

Перепишем в порядке возрастания

   

Прибавляем почленно 4

   

   

Наибольшее значение выражения равно 7 (наименьшее — 1, область значений — [1;7]).

   

Решение:  ОДЗ:  х∈ (-∞; ∞).

   

   

 

   

 

   

   

Наибольшее значение выражения равно 10 (наименьшее — 8, область значений — [8;10]).

(Замечание. Если предварительно преобразовать данное выражение:

   

   

то можно упростить его оценку, поскольку в этом случае не нужно умножать неравенство на отрицательное число).

   

Решение: Дробь имеет смысл, если знаменатель отличен от нуля, поэтому ОДЗ: sinα≠0. Удобнее всего работать с ОДЗ на единичной окружности: точки α=0 и α=П, в которых sinα обращается в нуль, выкалываем:

 Теперь можно упростить выражение, сократив его

   

Осталось оценить полученное выражение.

   

Однако, с учетом ОДЗ, имеем:

   

(cosα=1 при α=0,  cosα=-1 при α=П).

   

   

   

Выражение не принимает ни наибольшего, ни наименьшего значений (область значений выражения — (8;10)).

В следующий раз продолжим рассматривать выражения с дробями, позже — выражения вида a∙sinα+b∙cosα.