Узнать ещё

Рассмотрим задачу на  подобие, где требуется найти площадь треугольника, средняя линия которого делит его на части.

Утверждение.

Средняя линия треугольника делит его на треугольник и трапецию, площади которых относятся как 1:3.

    Дано: ∆ ABC,

FK — средняя линия

Доказать:

   

Доказательство:

 

Рассмотрим ∆ FCK и ∆ ACB

 

 

 

По свойству средней линии треугольника, FK∥AB и FK=1/2 AB.

Отсюда, ∠CFK=∠CAB (как соответственные при FK∥AB и секущей AC).

∠C — общий.

Следовательно, ∆ FCK и ∆ ACB подобны (по двум углам).

Так как площади подобных фигур относятся как квадраты их соответствующих линейных размеров, то

   

Таким образом,

   

а так как

   

Итак, средняя линия треугольника делит его на треугольник и трапецию, площади которых, соответственно, составляют одну четверть и три четверти от площади исходного треугольника, значит,

   

Что и требовалось доказать.

Задача.

    Дано:

∆ ABC,

F — середина AC,

K — середина BC,

   

Найти:

   

Решение:

Пусть

   

По доказанному выше утверждению,

   

Значит,

   

Поскольку

   

   

   

   

Ответ: 18 см².