Я не буду убеждать вас не писать шпаргалки. Пишите! В том числе, и шпаргалки по тригонометрии. Позже я планирую объяснить, зачем нужны шпаргалки и чем шпаргалки полезны. А здесь — информация, как не учить, но запомнить некоторые тригонометрические формулы. Итак — тригонометрия без шпаргалки!Используем ассоциации для запоминания.
1. Формулы сложения:
косинусы всегда «ходят парами»: косинус-косинус, синус-синус. И еще: косинусы — «неадекватны». Им «все не так», поэтому они знаки меняют: «-» на «+», и наоборот.
![\[\begin{gathered} \cos (\alpha + \beta ) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \hfill \\ \cos (\alpha - \beta ) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \hfill \\ \end{gathered} \]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8c5230e3c2bfbabf3e18577125277643_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Синусы — «смешиваются»: синус-косинус, косинус-синус.
![\[\begin{gathered} \sin (\alpha + \beta ) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \hfill \\ \sin (\alpha - \beta ) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \hfill \\ \end{gathered} \]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0a64a467a1a78954a2744f89f0e3f1e0_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
2. Формулы суммы и разности:
косинусы всегда «ходят парами». Сложив два косинуса — «колобка», получаем пару косинусов- «колобков». А вычитая, колобков точно не получим. Получаем пару синусов. Еще и с минусом впереди.
![\[\begin{gathered} \cos \alpha + \cos \beta = 2\cos \frac{{\alpha + \beta }}{2}\cos \frac{{\alpha - \beta }}{2} \hfill \\ \cos \alpha - \cos \beta = - 2\sin \frac{{\alpha - \beta }}{2}\sin \frac{{\alpha + \beta }}{2} \hfill \\ \end{gathered} \]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a8a7ba74527cedc9c0489435f01c5850_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Синусы — «смешиваются»:
![\[\begin{gathered} \sin \alpha + \sin \beta = 2\sin \frac{{\alpha + \beta }}{2}\cos \frac{{\alpha - \beta }}{2} \hfill \\ \sin \alpha - \sin \beta = 2\sin \frac{{\alpha - \beta }}{2}\cos \frac{{\alpha + \beta }}{2} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-396ca23f497b9e8d709403e1c868a326_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
3. Формулы преобразования произведения в сумму и разность.
Когда мы получаем пару косинусов? Когда складываем косинусы. Поэтому
![\[\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\alpha - \beta } \right) + \cos \left( {\alpha + \beta } \right)} \right]\]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6b63d669793e545c9bc89d00afc57aa1_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Когда мы получаем пару синусов? При вычитании косинусов. Отсюда:
![\[\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\alpha - \beta } \right) - \cos \left( {\alpha + \beta } \right)} \right]\]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-edefdc5eacaf252b469bdef3a5c28d74_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
«Смешение» получаем как при сложении, так и при вычитании синусов. Что приятнее: складывать или вычитать? Правильно, складывать. И для формулы берут сложение:
![\[\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {\alpha - \beta } \right) + \sin \left( {\alpha + \beta } \right)} \right]\]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8dbf36270d1c1e3d25b617f6c0b57f81_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
В первой и в третьей формуле в скобках — сумма. От перестановки мест слагаемых сумма не меняется. Принципиален порядок только для второй формулы. Но, чтобы не путаться, для простоты запоминания мы во всех трех формулах в первых скобках берем разность
![\[{\left( {\alpha - \beta } \right)}\]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6e1671f3ca31199cef7641210f820593_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
а во вторых — сумму
![\[{\left( {\alpha + \beta } \right)}\]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c09b4b0e1b74834474cbd9c55536c82a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Шпаргалки в кармане дают спокойствие: если забыл формулу, можно списать. А ассоциации для запоминания дают уверенность: если воспользоваться шпаргалкой не удастся, формулы можно легко вспомнить.
эхх как же достали меня эти синусы минусы косинусы, зачем нужны вообще не понятно, не надо было ли исключить всех этих углов с математики ?))
Уважаемый NilufarJon!
Выбор есть всегда. Не хотите — не учите.
Альтернативный вариант, например, — работа на свежем воздухе. Правда, в этом случае нужно крепкое здоровье и выносливость.
Так что на печи отсидеться и в этом случае не удастся)).
Тупая тема. Тоже учил в детстве. А сейчас сын учит. Закончил институт со всеми курсовыми и дипломными проектами . Отработал инженером 30 лет. Ни разу в жизни не пригодилось.
Олег, разве задача образования — всё учить? Мы учимся, чтобы научиться решать задачи, которые потом поставит жизнь. Перед каждым — свои.
Спасибо большое! Помогло!
Спасибо! Что бы я делал без вашей помощи? Вы мне очень помогли.
Спасибо! Очень полезно!