Рассмотрим задачу на  подобие, где требуется найти площадь треугольника, средняя линия которого делит его на части.

Утверждение.

Средняя линия треугольника делит его на треугольник и трапецию, площади которых относятся как 1:3.

nayti ploschad treugolnika, srednyaya liniya kotorogo    Дано: ∆ ABC,

FK — средняя линия

Доказать:

    \[{S_{\Delta FCK}}:{S_{AFKB}} = 1:3\]

Доказательство:

найти площадь треугольника, средняя линия

 

Рассмотрим ∆ FCK и ∆ ACB

 

 

 

По свойству средней линии треугольника, FK∥AB и FK=1/2 AB.

Отсюда, ∠CFK=∠CAB (как соответственные при FK∥AB и секущей AC).

∠C — общий.

Следовательно, ∆ FCK и ∆ ACB подобны (по двум углам).

Так как площади подобных фигур относятся как квадраты их соответствующих линейных размеров, то

    \[\frac{{{S_{\Delta FCK}}}}{{{S_{\Delta ACB}}}} = \frac{{F{K^2}}}{{A{B^2}}} = {(\frac{1}{2})^2} = \frac{1}{4}.\]

Таким образом,

    \[{S_{\Delta FCK}} = \frac{1}{4}{S_{\Delta ACB}},\]

а так как

    \[{S_{AFKB}} = {S_{\Delta ACB}} - {S_{\Delta FCK}}, \Rightarrow {S_{AFKB}} = \frac{3}{4}{S_{\Delta ACB}}.\]

Итак, средняя линия треугольника делит его на треугольник и трапецию, площади которых, соответственно, составляют одну четверть и три четверти от площади исходного треугольника, значит,

    \[\frac{{{S_{\Delta FCK}}}}{{{S_{AFKB}}}} = \frac{1}{3}\]

Что и требовалось доказать.

Задача.

nayti ploschad treugolnika, esli srednyaya liniya    Дано:

∆ ABC,

F — середина AC,

K — середина BC,

    \[{S_{\Delta FCK}} < {S_{AFKB}}{\rm{ na 12 cm}}{\rm{,}}\]

Найти:

    \[{S_{AFKB}}\]

Решение:

Пусть

    \[{S_{\Delta FCK}} = x(c{m^2}).\]

По доказанному выше утверждению,

    \[\frac{{{S_{\Delta FCK}}}}{{{S_{AFKB}}}} = \frac{1}{3}\]

Значит,

    \[{S_{AFKB}} = 3x(c{m^2}).\]

Поскольку

    \[{S_{\Delta FCK}} < {S_{AFKB}}{\rm{na12cm}},\]

    \[3x - x = 12\]

    \[\underline {x = 6} \]

    \[{S_{AFKB}} = 3 \cdot 6 = 18(c{m^2}).\]

Ответ: 18 см².

Ваш отзыв , 02 Апр 2014

Ваш отзыв

Besucherzahler senior people meet
счетчик для сайта