Чтобы легко справиться с решением задач на шар, вписанный в пирамиду, полезно разобрать небольшой теоретический материал.

Шар вписан в пирамиду (или сфера вписана в пирамиду) — значит, шар (сфера) касаются каждой грани пирамиды. Плоскости, содержащие грани пирамиды, являются касательными плоскостями шара. Отрезки, соединяющие центр шара с точками касания, перпендикуляры к касательным плоскостям. Их длины равны радиусу шара. Центр вписанного в пирамиду шара — точка пересечения бисекторных плоскостей двугранных углов при основании (то есть плоскостей, делящих эти углы пополам).

Чаще всего в задачах речь идет о шаре, вписанном в правильную пирамиду. Шар можно вписать в любую правильную пирамиду. Центр шара в этом случае лежит на высоте пирамиды. При решении задачи удобно провести сечение пирамиды и шара плоскостью, проходящей через апофему и высоту пирамиды.

шар в пирамиде

 

Если пирамида четырехугольная или шестиугольная, сечение представляет собой равнобедренный треугольник, боковые стороны которого — апофемы, а основание — диаметр вписанной в основание окружности.

 

 

 

 

 

шар, вписанный в пирамиду

 

Если пирамида треугольная или пятиугольная, достаточно рассмотреть лишь часть этого сечения — прямоугольный треугольник, катеты которого — высота пирамиды и радиус вписанной в основание пирамиды окружности, а гипотенуза — апофема.

 

 

 

 

В любом случае, в итоге приходим к рассмотрению соответствующего прямоугольного треугольника и других связанных с ним треугольников.

сечение комбинации "шар в пирамиде"Итак, в прямоугольном треугольнике SOF катет SO=H — высота пирамиды, катет OF=r — радиус вписанной в основание пирамиды окружности, гипотенуза SF=l — апофема пирамиды. O1- центр шара и, соответственно, окружности, вписанной в треугольник, полученный в сечении (мы рассматриваем его часть). Угол SFO — линейный угол двугранного угла между плоскостью основания и плоскостью боковой грани SBC. Точки K и O — точки касания, следовательно, O1K перпендикулярен SF. OO1=O1K=R — радиусу шара.

Прямоугольные треугольники OO1F и KO1F равны (по катетам и  гипотенузе). Отсюда KF=OF=r.

Прямоугольные треугольники SKO1 и SOF подобны (по острому углу S), откуда следует, что

    \[\frac{{OF}}{{K{O_1}}} = \frac{{SO}}{{SK}}, \Rightarrow \frac{r}{R} = \frac{H}{{l - r}}.\]

В треугольнике SOF применим свойство биссектрисы треугольника:

    \[\frac{{SF}}{{S{O_1}}} = \frac{{OF}}{{O{O_1}}}, \Rightarrow \frac{l}{{H - R}} = \frac{r}{R}.\]

Из прямоугольного треугольника OO1F

    \[tg\angle OF{O_1} = \frac{{O{O_1}}}{{OF}} = \frac{R}{r}.\]

При решении задач на шар, вписанный в правильную пирамиду, будет полезным еще одно рассуждение.

    \[\frac{l}{{H - R}} = \frac{r}{R}, \Rightarrow Rl = (H - R)r, \Rightarrow \]

    \[Rl = Hr - Rr, \Rightarrow Hr = R(l + r), \Rightarrow \]

    \[R = \frac{{rH}}{{l + r}}.\]

Теперь найдем отношение объема пирамиды к площади ее поверхности:

    \[\frac{V}{{{S_{n.n/}}}} = \frac{{\frac{1}{3}{S_{ocn}} \cdot H}}{{{S_{ocn}} + {S_{bok}}}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{{prH}}{{pr + pl}} = \]

    \[ = \frac{1}{3} \cdot \frac{{rH}}{{r + l}} = \frac{1}{3}R.\]

Таким образом, радиус вписанного шара выражается через объем пирамиды и ее полную поверхность:

    \[R = \frac{{3V}}{{{S_{n.n.}}}}.\]

Все эти рассуждения верны не только для правильной пирамиды, но и для пирамиды, основание высоты которой совпадает с центром вписанной в основание окружности (то есть для пирамиды, у которой все двугранные углы при основании равны).

 

Отзывов (11) , 01 Фев 2013

Отзывов (11) на «Шар, вписанный в пирамиду»

  1. Владислав:

    «Катет OF=r — радиус вписанной в основание пирамиды окружности», разве r — радиус вписанной окружности в основание? По-моему это радиус описанной около основания окружности.

    • Светлана Иванова:

      OF — перпендикуляр, проведенный из центра правильного многоугольника к его стороне. Описанная же окружность проходит через вершины многоугольника.

  2. Алексей:

    А что, если пирамида неправильная?? Этот случай не разобран, а интересно.

    • Светлана Иванова:

      Алексей, когда-нибудь разберу и этот случай, но сроков не называю — не хватает времени, увы.

  3. Алексей:

    Верна ли формула для нахождения радиуса вписанного шара в тетраэдр для случая, когда шар вписан в неправильный тетраэдр?
    Спасибо

    • Светлана Иванова:

      Для пирамиды, у которой двугранные углы при основании равны — да, в общем случае — нет.

  4. Ириэ:

    >>Точки K и O — точки касания, следовательно, O1K перпендикулярен SF.
    Где точное обоснование данного вывода?

  5. Анжелика:

    Очень хороший разбор, но в конце мне кое что непонятно, вы не могли бы объяснить?

    • Анжелика:

      Сори, разобралась) по-видимому, этот вывод формулы действует только в том случае, если в основании пирамиды лежит квадрат. Я верно поняла??

Ваш отзыв

Besucherzahler senior people meet
счетчик для сайта