cos (2 arcsin x)

Чтобы найти cos (2 arcsin x) и cos (2 arccos x), нужно применить соответствующую формулу косинуса двойного угла.

$\cos 2\alpha = 1 - 2{\sin ^2}\alpha$

$\cos 2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha - 1$

Для нахождения cos (2 arcsin x) применим первую из этих формул. В нашем случае α=arcsin x. С учетом того, что

$\sin (\arcsin x) = x,npu\left| x \right| \le 1,$

имеем:

$\cos (2\arcsin x) = 1 - 2{\sin ^2}(\arcsin x) = 1 - 2{x^2}.$

Например,

$\cos (2\arcsin \frac{2}{3}) = 1 - 2{\sin ^2}(\arcsin \frac{2}{3}) =$

$= 1 - 2 \cdot {(\frac{2}{3})^2} = 1 - 2 \cdot \frac{4}{9} = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}.$

Чтобы найти cos (2 arccos x), воспользуемся второй из приведенных формул косинуса двойного угла. Соответственно, в этом случае α=arccos x. Поскольку

$\cos (\arccos x) = x,npu\left| x \right| \le 1,$

имеем:

$\cos (2\arccos x) = 2{\cos ^2}(\arccos x) - 1 = 2{x^2} - 1.$

Например,

$\cos (2\arccos \frac{1}{3}) = 2{\cos ^2}(\arccos \frac{1}{3}) - 1 =$

$= 2 \cdot {(\frac{1}{3})^2} - 1 = 2 \cdot \frac{1}{9} - 1 = \frac{2}{9} - 1 = - \frac{7}{9}.$

Узнать ещё