Рассмотрим некоторые задачи, в которых биссектрисы углов трапеции пересекаются.

I. Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются.

Биссектрисы при боковой стороне трапеции 1)∠ABC+BAD=180º(как внутренние односторонние при ADBC и секущей AB).

2) ABK+KAB=(ABC+BAD):2=90º(так как биссектрисы делят углы пополам).

3) Так как сумма углов треугольника равна 180º, в треугольнике ABK имеем:ABK+KAB+AKB=180º, отсюда AKB=180-90=90º.

Вывод:

Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются под прямым углом.

Это утверждение, в частности, применяется при решении базовой задачи на трапецию, в которую вписана окружность.

Точка пересечения биссектрис трапеции Пусть биссектриса угла ABC пересекает сторону AD в точке S. Тогда треугольник ABS — равнобедренный с основанием BS (доказательство можно посмотреть здесь). Значит, его биссектриса AK является также медианой, то есть точка K — середина BS.

Если M и N — середины боковых сторон трапеции, то MN — средняя линия трапеции и MNAD.

Так как M и K — середины AB и BS, то MK — средняя линия треугольника ABS и MKAS.

Поскольку через точку M можно провести лишь одну прямую, параллельную данной, точка K лежит на средней линии трапеции.

Вывод:

Точка пересечения биссектрис трапеции, прилежащих к боковой стороне, лежит на средней линии трапеции.

II. Точка пересечения биссектрис острых углов при основании трапеции принадлежит другому основанию.

точка пересечения биссектрис тупых углов трапеции В этом случае треугольники ABK и DCK — равнобедренные с основаниями AK и DK соответственно.

 

 

Биссектрисы острых углов трапеции Таким образом, BC=BK+KC=AB+CD.

 

 

 

Вывод:

Если биссектрисы острых углов трапеции пересекаются в точке, принадлежащей меньшему основанию, то меньшее основание равно сумме боковых сторон трапеции.

В частности, у равнобедренной трапеции в этом случае меньшее основание в два раза больше боковой стороны.

III.Точка пересечения биссектрис тупых углов при основании трапеции принадлежит другому основанию.

Биссектрисы тупых углов трапеции пересекаются В этом случае треугольники ABF и DCF — равнобедренные с основаниями BF и CF соответственно.

 

 

 

Точка пересечения биссектрис трапеции Отсюда AD=AF+FD=AB+CD.

 

 

 

Вывод:

Если биссектрисы тупых углов трапеции пересекаются в точке, принадлежащей большему основанию, то большее основание равно сумме боковых сторон трапеции.

У равнобедренной трапеции в этом случае большее основание в два раза больше боковой стороны.

1 отзыв , 04 Июн 2013

Один отзыв на «Биссектрисы трапеции»

  1. Галина:

    Спасибо. Очень полезно, доступно, понятно.

Ваш отзыв

Besucherzahler senior people meet
счетчик для сайта