Чтобы найти наибольшее значение тригонометрического выражения, во многих случаях достаточно знать область значений синуса, косинуса, тангенса, котангенса и свойства  неравенств.

Примеры.

Найти наибольшее значение выражения:

    \[1)5 + 7\cos \alpha \]

Решение:

Область допустимых значений данного выражения — вся числовая прямая:

ОДЗ: α∈(-∞; ∞).

Область значений косинуса — промежуток [-1;1]. Для оценки значений удобнее использовать двойное неравенство:

    \[ - 1 \le \cos \alpha  \le 1.\]

Умножаем неравенство почленно на 7. При умножении на положительное число знаки неравенства не изменяются:

    \[ - 1 \le \cos \alpha  \le 1{\rm{     }}\left| { \cdot 7 > 0} \right.\]

    \[ - 7 \le 7\cos \alpha  \le 7\]

Затем прибавляем почленно 5:

    \[ - 7 \le 7\cos \alpha  \le 7{\rm{  }}\left| { + 5} \right.\]

    \[ - 2 \le 7\cos \alpha  + 5 \le 12.\]

Таким образом, наибольшее значением выражения равно 12 (наименьшее — -2, область значений — [-2:12]).

    \[2)4 - 3\sin \varphi \]

Решение: ОДЗ: φ∈ (-∞; ∞).

Область значений синуса — промежуток [-1;1] или

    \[ - 1 \le \sin \varphi  \le 1{\rm{ }}\]

При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

    \[ - 1 \le \sin \varphi  \le 1{\rm{    }}\left| { \cdot ( - 3) < 0} \right.{\rm{ }}\]

    \[{\rm{3}} \ge {\rm{ - 3}}\sin \varphi  \ge  - 3\]

Перепишем в порядке возрастания

    \[{\rm{ - 3}} \le {\rm{ - 3}}\sin \varphi  \le 3\]

Прибавляем почленно 4

    \[{\rm{ - 3}} \le {\rm{ - 3}}\sin \varphi  \le 3{\rm{  }}\left| { + 4} \right.\]

    \[1 \le 4{\rm{ - 3}}\sin \varphi  \le 7.{\rm{ }}\]

Наибольшее значение выражения равно 7 (наименьшее — 1, область значений — [1;7]).

    \[{\rm{3)10 - 2co}}{{\rm{s}}^2}x\]

Решение:  ОДЗ:  х∈ (-∞; ∞).

    \[0 \le \left| {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x} \right| \le 1{\rm{    }}\left| { \cdot ( - 2) < 0} \right.\]

    \[0 \ge  - 2\left| {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x} \right| \ge  - 2\]

 

    \[ - 2 \le  - 2\left| {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x} \right| \le 0\]

 

    \[ - 2 \le  - 2\left| {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x} \right| \le 0{\rm{  }}\left| { + 10} \right.\]

    \[8 \le  - 2\left| {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x} \right| \le 10{\rm{ }}{\rm{.}}\]

Наибольшее значение выражения равно 10 (наименьшее — 8, область значений — [8;10]).

(Замечание. Если предварительно преобразовать данное выражение:

    \[{\rm{10 - 2co}}{{\rm{s}}^2}x = 8 + 2 - {\rm{2co}}{{\rm{s}}^2}x = \]

    \[ = 8 + 2(1 - {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x) = 8 + 2{\sin ^2}x,\]

то можно упростить его оценку, поскольку в этом случае не нужно умножать неравенство на отрицательное число).

    \[4)\frac{{\sin \alpha (9 - \cos \alpha )}}{{\sin \alpha }}\]

Решение: Дробь имеет смысл, если знаменатель отличен от нуля, поэтому ОДЗ: sinα≠0. Удобнее всего работать с ОДЗ на единичной окружности: точки α=0 и α=П, в которых sinα обращается в нуль, выкалываем:

naibolshee znachenie vyirazheniya Теперь можно упростить выражение, сократив его

    \[\frac{{\sin \alpha (9 - \cos \alpha )}}{{\sin \alpha }} = 9 - \cos \alpha \]

Осталось оценить полученное выражение.

    \[ - 1 \le \cos \alpha  \le 1{\rm{ }}\]

Однако, с учетом ОДЗ, имеем:

    \[ - 1 < \cos \alpha  < 1{\rm{ }}\]

(cosα=1 при α=0,  cosα=-1 при α=П).

    \[ - 1 < \cos \alpha  < 1{\rm{    }}\left| { \cdot ( - 1) < 0} \right.{\rm{ }}\]

    \[ - 1 <  - \cos \alpha  < 1{\rm{  }}\left| { + 9} \right.\]

    \[8 < 9 - \cos \alpha  < 10.{\rm{ }}\]

Выражение не принимает ни наибольшего, ни наименьшего значений (область значений выражения — (8;10)).

В следующий раз продолжим рассматривать выражения с дробями, позже — выражения вида a∙sinα+b∙cosα.

 

 

Отзывов (5) , 22 Янв 2014

Отзывов (5) на «Найти наибольшее значение выражения»

  1. Андрей:

    Спасибо

  2. Артём:

    Помогите определиться с решением дробного выражения типа 5/2+sin^2(7x), где sin^2 — синус в квадрате.

    • Светлана Иванова:

      [0 le {sin ^2}(7x) le 1]Прибавляем к каждой части неравенства 5/2:[0 + frac{5}{2} le frac{5}{2} + {sin ^2}(7x) le 1 + frac{5}{2}][frac{5}{2} le frac{5}{2} + {sin ^2}(7x) le frac{7}{2}]

  3. Артём:

    найти наибольшее выражение значения √3 cosα — sinα

    • Светлана Иванова:

      Все собираюсь продолжить тему, но руки не доходят(([sqrt 3 cos alpha — sin alpha = ][ = 2 cdot (frac{{sqrt 3 }}{2}cos alpha — frac{1}{2}sin alpha ) = ][ = 2 cdot (sin frac{pi }{3}cos alpha — cos frac{pi }{3}sin alpha ) = ][ = 2sin (frac{pi }{3} — alpha )][ — 1 le sin (frac{pi }{3} — alpha ) le 1, Rightarrow — 2 le 2sin (frac{pi }{3} — alpha ) le 2.]

Ваш отзыв

Besucherzahler senior people meet
счетчик для сайта